次の微分方程式の解を教えて下さい。

質問

(α,βは正の定数)

x''=-αx+βy'
y''=-αy-βx'

私はそれぞれの式の和と差をだして
(x"+y")=-α(x+y)-β(x'-y')
(x"-y")=-α(x-y)+β(x'+y')
から求めようとしたのですが、それぞれの式にx+yの項とx-yの項が混ざり、うまくできませんでした。
また、x,y方向に同一の角振動数ωを仮定し式をたてやってみましたが、うまくできませんでした。

どうすれば解けますか？

回答No.1

jcpmutura

x"=-αx+βy'…(1)
y"=-αy-βx'…(2)
(1)の両辺にαx-βy'を加えると
x"+αx-βy'=0…(3)
(2)の両辺にβx'+αyを加えると
βx'+y"+αy=0…(4)
Dx=x'=dx/dt
Dy=y'=dy/dt
(D^2)x=x"=d^2x/dt^2
(D^2)y=y"=d^2y/dt^2
とすると
(3)から
(D^2)x+αx-βDy=0
{(D^2)+α}x-βDy=0…(5)
(4)から
βDx+(D^2)y+αy=0
βDx+{(D^2)+α}y=0…(6)
(5)の両辺に(D^2+α)をかけると
[{(D^2)+α}^2]x-βD{(D^2)+α}y=0…(7)
(6)の両辺にβDをかけると
(β^2)(D^2)x+βD{(D^2)+α}y=0…(8)
(7)+(8)から
[{(D^2)+α}^2]x+(β^2)(D^2)x=0
[{(D^2)+α}^2+(β^2)(D^2)]x=0
{(D^4)+(2α+β^2)(D^2)+α^2}x=0
{(D^2+α+β^2/2)^2-β^2(α+β^2/4)}x=0
{D^2+α+β^2/2+β√(α+β^2/4)}{D^2+α+β^2/2-β√(α+β^2/4)}x=0
[D^2+{β/2+√(α+β^2/4)}^2][D^2+{-β/2+√(α+β^2/4)}^2]x=0
だから
λ=β/2+√(α+β^2/4)
μ=-β/2+√(α+β^2/4)
としてC1,C2,C3,C4を任意定数とすると
x=(C1)cos(λt)+(C2)sin(λt)+(C3)cos(μt)+(C4)sin(μt)…(9)
両辺をtで微分すると
x'=-λ(C1)sin(λt)+λ(C2)cos(λt)-μ(C3)sin(μt)+μ(C4)cos(μt)
両辺をtで微分すると
x"=-λ^2(C1)cos(λt)-λ^2(C2)sin(λt)-μ^2(C3)cos(μt)-μ^2(C4)sin(μt)…(10)
(9)の両辺にαをかけると
αx=α(C1)cos(λt)+α(C2)sin(λt)+α(C3)cos(μt)+α(C4)sin(μt)
これを(10)に加えて(3)に代入すると
(α-λ^2){(C1)cos(λt)+(C2)sin(λt)}+(α-μ^2){(C3)cos(μt)+(C4)sin(μt)}-βy'=0
両辺にβy'を加えて左右を入れ替えると
βy'
=(α-λ^2){(C1)cos(λt)+(C2)sin(λt)}+(α-μ^2){(C3)cos(μt)+(C4)sin(μt)}
=-βλ{(C1)cos(λt)+(C2)sin(λt)}+βμ{(C3)cos(μt)+(C4)sin(μt)}
両辺をβで割ると
y'=-λ{(C1)cos(λt)+(C2)sin(λt)}+μ{(C3)cos(μt)+(C4)sin(μt)}
両辺を積分すると
y=-(C1)sin(λt)+(C2)cos(λt)+(C3)sin(μt)-(C4)cos(μt)

λ=β/2+√(α+β^2/4)
μ=-β/2+√(α+β^2/4)
C1,C2,C3,C4は任意定数
x=(C1)cos(λt)+(C2)sin(λt)+(C3)cos(μt)+(C4)sin(μt)
y=-(C1)sin(λt)+(C2)cos(λt)+(C3)sin(μt)-(C4)cos(μt)