数学の質問です。以下の問題を微分で解くことは可能で

質問

数学の質問です。以下の問題を微分で解くことは可能ですか？

a,bを実数とする。整式P(x)=x^3-ax^2+(a^2-a-1)x+bがあり、P(-1)=0とする。
3次方程式P(x)=0の解がすべて実数となるとき、aのとりうる値の範囲は？

また、因数定理・剰余の定理と微分は紙一重ですか？

回答No.4

178-tall

>3次方程式が出てきたときに、どっちを使うかを見分けるのはどこですか？P(1)=0とかですか？それともf(x)になってるかP(x)になってるかの違いですか？

この問題では、「P(-1)=0」なる条件が使える。

「P(x) は (x+1) で整除可」という意味なので、「x^3-ax^2+(a^2-a-1)x+b を (x+1) で割ると、商 = x^2-(1+a)x+a^2、余り = b-a^2 = 0 → b=a^2 」までわかる。

「微分で解く」のなら、商 = x^2-(1+a)x+a^2 を微分してみれば商の極小点がわかり、そこで商値が「非正」になる条件を求めると、
商 = 0 となる「aのとりうる値の範囲」を求められるわけです。

回答No.3

178-tall

錯誤を訂正。

P(x) は (x+1) で整除可。
x^3-ax^2+(a^2-a-1)x+b を (x+1) で割ると、商 = x^2-(1+a)x+a^2、余り = b-a^2 = 0 → b=a^2 。
つまり、P(x) = x^3-ax^2+(a^2-a-1)x+a^2 = (x+1){ x^2-(1+a)x+a^2 }

題意は、
「x^2-(1+a)x+a^2 = 0 の解がすべて実数となるとき、aのとりうる値の範囲は？」
になる。
　　　　↑
>…問題を微分で解くことは可能ですか？
　　　　↓
たとえば、左辺の微係数が零の点 xo にて、左辺式の値が「非正」になるような a の値の範囲を探れば良さそう。

回答No.2

178-tall

>a,bを実数とする。整式P(x)=x^3-ax^2+(a^2-a-1)x+bがあり、P(-1)=0とする。
　　　　↓
P(x) は (x+1) で整除可。
x^3-ax^2+(a^2-a-1)x+b を (x+1) で割ると、商 = x^2-(1-a)x+a^2、余り = b-a^2 = 0 → b=a^2 。
つまり、P(x) = x^3-ax^2+(a^2-a-1)x+a^2 = (x+1){ x^2-(1-a)x+a^2 }

題意は、
「x^2-(1-a)x+a^2 = 0 の解がすべて実数となるとき、aのとりうる値の範囲は？」
になる。
　　　　↑
>…問題を微分で解くことは可能ですか？
　　　　↓
たとえば、左辺の微係数の零点 xo にて、左辺式の値が「非正」になるような a の値の範囲を探れば良さそう。

>また、因数定理・剰余の定理と微分は紙一重ですか？
　　　　↓
ほわっと、どーゆー、いみー？

補足

3次方程式が出てきたときに、どっちを使うかを見分けるのはどこですか？P(1)=0とかですか？それともf(x)になってるかP(x)になってるかの違いですか？

回答No.1

info33

P(x)=x^3-ax^2+(a^2-a-1)x+b
P(-1)= -a^2+b=0 より　b=a^2
P(x)=x^3-ax^2+(a^2-a-1)x+a^2=(x+1)(x^2 -(a+1)x+a^2)=0
3次方程式P(x)=0の解がすべて実数となるための条件は
f(x)=x^2 -(a+1)x+a^2=0の解がすべて実数となることである。
f(-1)=a^2+a+2=(a+1/2)^2 +7/4>0なので　f(x)=0はx=-1を解として持たない。
f '(x)=2x-a-1=0, x=(a+1)/2,
f(x)のx^2の係数>0 なのでf(x)＝0の解がすべて実数となるための条件は
f((a+1)/2)=(3/4)(a-1)(a+1/3)≦0　∴-1/3≦a≦1 ... (答え)

>また、因数定理・剰余の定理と微分は紙一重ですか？
そのようなことは聞いたことありません。