ある電荷を出来るだけ小さな球に帯電させるには

質問

こんにちは、
下記HPは静電気に関するもので、静電気を発生させる方法等が紹介されております。
私にとりましては、大変面白くて参考になりました。
これを読みますと、１０Cの電荷を出来る限り小さな球に帯電させようとしましたら、（誘電体ではなく）金属を使用すべきであることがわかります。
（下記より抜粋）
電子を出すとか受け取るとか言っても、絶縁体の場合には電荷を持つのは表面のみで、しかもその数は表面の原子数万個に１個程度の割合でしかない、ということを付け加えておきます。電解質のイオン化などとは全くレベルが違うのです。

http://hr-inoue.net/zscience/topics/staticelec/s …

ある導体球に１０Cの電荷を与え可能な限り導体球の半径を小さくさせた場合、その半径は幾らになるでしょうか？

回答No.1

noname#230359 · ベストアンサー

独立球の静電容量Ｃは
　Ｃ＝４πεo ａ＝1.11e-10×ａ　（Ｆ）で求められます。
　　　ここで、 εo は真空の誘電率
　　　　　　　　ａは球の半径（ｍ）
ａに具体的な値を入れて計算すると、
　ａ＝１（ｍ）のとき　　Ｃ＝１１１（ｐＦ）ということです。

ご承知のとおり、電荷Ｑ、静電容量Ｃ、電圧Ｖの関係は、
　Ｑ＝ＣＶ　ですから

ａ＝１（ｍ）の球に１０（Ｃ）の電荷を与えたときの球の電位（Ｖ）は、
Ｖ＝Ｑ／Ｃ＝１０（Ｃ）÷１１１（ｐＦ）＝９ｅ10（Ｖ）ということです。

（電位とは、無限遠を０Ｖ（基準）としたときの電圧と解釈して下さい）

球の半径が小さくなれば、半径に半比例して電圧が高くなる関係です。

面積が小さくて電圧が高いと言うことは、球体表面の電気力線密度が高い
ことを意味し、すなわち球体表面の電界強度が高いということになります。

数式上は、半径ａはいくらでも小さくできますが、現実には電界強度の
が高くなれば絶縁破壊を起こしてそれ以上の電荷を蓄えることができませ
ん。このように考えると、この問題は球をおく空間が耐えうる電界強度の
最大値を問うているように思います。

従って、答えは球をおく空間の環境条件によって変化します。
環境条件の例としては、(1)高真空　(2)大気（0.1MPaの空気） (3)高圧ガス
環境（例えば6MPaのSF6)

この先は、ご自身で確認なさっては如何でしょうか。

半比例は誤りでした。
反比例に訂正させて下さい。

お礼

お返事有難う御座います。
＞もちろん有効なことと思います。
了解致しました。では、金属球の表面にマイナス電荷を、バンデグラーフ
の方式により帯電させ、Ｃ＝４πεo ａ＝1.11e-10×ａ　（Ｆ）の式を使用して
半径を計算します。その際、可能な限り半径を小さくするため、周りを(1)高真空　
(2)大気（0.1MPaの空気） (3)高圧ガス環境（例えば6MPaのSF6）で
囲うように検討します。

＞このような実験を、想定する原寸で行うには、国家プロジェクト級の予算措
＞置が必要でしょう。
そうなんですか。

＞思考実験であれば、巨額の費用はかかりませんので、大いに頭を使って下さ
＞ることがいいと思います。
そうですね。実際には作りませんので、思考実験で、6MPaのSF6をふんだんに
使用します。

＞その中から、日本が世界に対して優位に立っていく源泉（シナリオ）が見いだせれば、
＞国家的な予算措置にも繋がっていくことと思います。
夢だけは、大きく持つように致します。

色々と、ご指導有難う御座いました。

補足

お返事有難う御座います。
＞独立球の静電容量Ｃは
＞　Ｃ＝４πεo ａ＝1.11e-10×ａ　（Ｆ）で求められます。
＞　　ここで、 εo は真空の誘電率
＞　　　　　　　　ａは球の半径（ｍ）

この計算には、物質の誘電率εrが抜けているのでは無いでしょうか？
それとも、金属の表面の場合、εr＝１なのでしょうか？
上記式により、誘電体をチタン酸バリウムとして計算しました。
ε0 = 8.85418782×10^(-12);
εr =5000;
ε=ε0 *εr;
V1=1*10^8;
a1=Sqrt[10/(4*Pi*ε*V1)]

0.423971

半径は、0.4ｍです。でも、球に電荷を印加させる場合、これは間違っていると思います。
誘電体（絶縁体）は、「電子を出すとか受け取るとか言っても、絶縁体の場合には電荷を持つのは表面のみで、しかもその数は表面の原子数万個に１個程度の割合でしかない」なので、球に電荷を印加させる場合、この計算は成立しないと思います。

金属の場合、多分面密度δ（C/m＾2）の電荷が帯電可能とか、金属によって帯電可能な値が決まっているような気がします。