ドップラー効果と光子数

質問

１００個の光子からなるパルスを光速の半分で遠ざかる物体に送った場合、エネルギー半分の光子を２００個受け取りますか？（周波数半分、振幅同じ、パルス幅２倍）

回答No.2

veryyoung

光子は相互作用の単位でしょうから、個数の変化はまずくありませんか。光子個々のエネルギが半分になり、光子の数が不変であっても、矛盾が生じないような効果を組み入れるべきかと思います。以下のように考えれば、「総エネルギのパラドクス」は解消されそうです。なお、光のドップラー効果の式、正しくは、光速比 β = v /c に関し、
f = sqrt( (1 - β) /(1 + β) ) fo = ( (1 - β) /sqrt(1 - β^2) ) fo
ですが、ご質問の数値例に沿い、あえてここでは、
f = (1 - β) fo
としましょう。β^2 << β の範囲ではそう近似できますし、相対論的因子
sqrt(1 - β^2) を省略すれば、送信者受信者の間で絶対時間が共有できます。当該問題の本質を浮き立たせるには寧ろ好都合かもしれません。
以下 (1 - β) を α と記述します。

バースト波を考えても「いわゆる電磁波としての移送エネルギ」で冒頭の光子エネルギのパラドクスを再現できます。周波数 fo [Hz]、電力 P [W] の電磁波を T [s] 送出、これが速度 β で遠ざかる受信装置に吸い込まれる様子を想像してください。周波数 α fo、「吸収」電力 α P、持続時間 T /α で、総エネルギ不変に間違いはありません。ところが、
受信電力として装置内部に出現するのは、α P では無く、α^2 P [W] になり、T /α 時間の累積エネルギは α P T [J] になりそうと言うのが話の骨子です。
差のエネルギ： P T - α P T = β P T [J] はどこに消えたのか・・・。
受信装置の遠ざかる速度の微加速、つまり運動エネルギに化けたようです。にわかには信じがたいでしょう。定量的に示してみましょう。

放射圧（輻射圧、光圧）はご存知でしょう。次の様に考えれば直観的です。エネルギと質量の等価性から、Pr [W] の電力放射は単位時間当たり質量 m = Pr / c^2 [kg/s] が、速度 c [m/s] で放出されている事になります。その反動としての放射圧は、
F = m c = Pr /c [N] というわけです。また照射された物体が電磁波を全吸収すれば Pr /c [N]、全反射すればこの２倍の圧力を感じます。力は極めて小さいものですが、仕事率 = 力×速度 [W] ですから、超高速で遠ざかる物体が受け取る運動エネルギは予想外に大きくなります。

さて、前述のように、P [W] は、β で遠ざかる受信装置に α P [W] のレートで吸収されていきます。時間は1 /α倍になるので、総エネルギに矛盾はありません。この時、
「送信者の観点では」受信装置に、放射圧 F = α P /c [N] が作用しています。
受信装置は仕事率 F (β c) = α β P [W] を運動エネルギ増加用（加速用）の電力として費やさざるを得ません。従って例えばアンテナとか反射鏡とかの出力として得られる受信電力は、
α P - α β P = α (1 - β) P = α^2 P [W] になってしまう筈です。エネルギでは α PT [J] となり、ご提示の条件、c /2 で遠ざかる物体内で電磁波として得られるエネルギは半減してしまうという理屈です。ちなみに、上記目減りを「受信者の観点で説明すると」送信者が高速で遠ざかっていますから、電磁波放出の際、送信側が放射圧に見合う運動エネルギを受け取らざるを得ず、受信者にとっての送信出力が目減りしている事になります。

光子の数不変で、ドップラー効果による光子の周波数低下（エネルギ低下）があっても、系に放射圧作用を加味する事で、総エネルギ不変性は維持されます。エネルギ変化は、送信者の観点からすると、受信側で生じており、受信者の観点では送信側で生じています。もっとも光子は「相互作用の単位」、量子力学的には観測して実体化ですから、伝搬路のどこでエネルギ低下が起こるのか詮索するのは野暮でしょう。

同様の考察を目にしたことは無く、発想後の熟成もなく、締め切られる前に取り急ぎ投稿と言う次第です。誤りで無ければよいですが。不可解な点がありましたらご指摘下さい。