ドップラー効果と光子数

質問

１００個の光子からなるパルスを光速の半分で遠ざかる物体に送った場合、エネルギー半分の光子を２００個受け取りますか？（周波数半分、振幅同じ、パルス幅２倍）

回答No.5

veryyoung

回答No.4 にいただいたコメントに関してです。次の一文は腑に落ちません。
＞水面波や音波の場合は観測体が移動しても振幅は変わりません。

音の場合、観測者にとって、波の総エネルギは不変というのが、ご主張かと思います。しかし観測者にとって振幅不変ではドップラー効果で周波数 α倍、音の長さが 1/α 倍になった際、総エネルギが 1/α倍に変化（遠ざかる場合増加）してしまいませんか。文面の意図がつかめませんでした。
そもそも仰る振幅とは何の振幅でしょうか。音波にとって強さの指標となるもの、電場磁場に対応するものは音圧と変位速度であって変位振幅ではありませんよね。音圧や変位速度が、媒質に対し速度を持つ観測者にとってどうかは、直観できるほど自明ではなさそうです。いかがでしょう。音圧振幅不変のままに、変位速度振幅は α倍になっているようです。さらにそれは虚像であって、実体として意味をもつ振幅は、ランジュバンの音響放射圧を観測者に適用した後のものといえませんか。結局、光の場合同様、総エネルギは（おそらく） α倍（遠ざかる場合減少）になるのだと思います。振幅不変となるような保存指標（変数変換先）を見つける事は不可能ではないかもしれませんが、馴染みのある物理量ではなさそうです。

回答No.4

veryyoung

回答No.3 にいただいたコメントに関してです。
＞ドップラー効果で周波数が1/2になる場合
＞・単位時間あたりに受け取る光子の数も1/2になりますか？
　その通り単位時間あたり 1/2 になると思います。

＞・単位時間あたりに受け取るエネルギーは1/4になりますか？
　その通り単位時間あたりエネルギー、すなわち電力[w],([J/s])は 1/4 になると思います。

＞・振幅もかわりますか？
　電力（単位時間あたりエネルギー）の指標としての振幅なら 1/4 になりますが、ただし電力の振幅はプラス/マイナスに振動するイメージではありません。プラス/マイナス振動イメージは電場磁場で、その振幅なら 1/2 と言うことになります。ただし２乗しないとエネルギー強度指標になりませんし、重ね合わせで干渉問題を考察するならともかく、当該問題に関し利用価値は無いようです。前記電磁場振幅は受信者の立場のものです。「送信者の立場で光速の半分」で受信者の装置に入っていく波を漠然と描いても相互作用の様子は掴めません。光速は観測者にとって不変です。受信装置に入ってくる波は「受信者の立場では光速」なのです。
あなたの意図する振幅、また使用目的は何でしょう。振幅なる指標、描像、手法はむしろ混乱の元になりませんか。

補足

光の振幅は波面の電場（光と直交する方向での電位の空間微分）の揺れ幅と捉えていました。
かつ光子モデルでは単位時間あたりの個数が振幅の二乗に比例するものと思っていました。
水面波や音波の場合は観測体が移動しても振幅は変わりません。
このため、光に於いても振幅は変わらず、光子の個数は観測体の速度（発信体との相対速度）でいかようにも変わるものに見えたのです。
光子というのはあくまで観測時のエネルギー交換単位であって、光そのものは個数という保存値をもたないと見えました。
おっしゃる通り振幅の捉え方に問題がありました。

なお、当初質問の「光速の半分」で「ドップラー効果で周波数が半分」というのも正確ではないことはお気づきではあると思いますが付け加えておきます。

回答No.3

veryyoung

回答No.2に関連し、ドップラー効果が光子の総エネルギーを目減りさせる明快な例を追加します。
当該速度の半分 β /2 で後退する鏡の反射光にも同様な周波数変化 (1 - β) が見られるます。太陽帆（ソーラーセイル）はご存知でしょう。速度上昇につれ光圧から獲得する運動エネルギーは大きくなります。速度の上昇につれ反射光は赤く、弱くなる筈です。「完全反射面を想定しても」後退速度があれば反射エネルギは (1 - β) 倍に目減りするでしょう。なお光圧に逆らい鏡を近づければ、その仕事分、反射光のエネルギは上昇します。

ところで、回答No.2の記述に書き誤りがあります。「「送信者の観点では」」の語句配置が不適切でした。
---（誤り）
・・・・・。この時、
「送信者の観点では」受信装置に、放射圧 F = α P /c [N] が作用しています。
受信装置は仕事率 F (β c) = α β P [W] を運動エネルギ増加用（加速用）の電力として費やさざるを得ません。
--------
---（正くは）
・・・・・。この時、
受信装置には、放射圧 F = α P /c [N] が作用しています。
「送信者の観点では」
受信装置は仕事率 F (β c) = α β P [W] を運動エネルギ増加用（加速用）の電力として費やさざるを得ません。
--------
---（解説）
受信装置に作用する力 α P /c は「送受信の観点によらね」絶対的なものです。観点に相対依存するのは運動エネルギの発生場所のみです。

補足

ありがとうございます。
少し質問を絞ってみます。
・ドップラー効果で周波数が1/2になる場合
　・単位時間あたりに受け取る光子の数も1/2になりますか？
　・単位時間あたりに受け取るエネルギーは1/4になりますか？
　・振幅もかわりますか？
つまり、私の最初の質問は、「振幅が変わらない」というのが間違いであったと思っていいでしょうか？

回答No.2

veryyoung

光子は相互作用の単位でしょうから、個数の変化はまずくありませんか。光子個々のエネルギが半分になり、光子の数が不変であっても、矛盾が生じないような効果を組み入れるべきかと思います。以下のように考えれば、「総エネルギのパラドクス」は解消されそうです。なお、光のドップラー効果の式、正しくは、光速比 β = v /c に関し、
f = sqrt( (1 - β) /(1 + β) ) fo = ( (1 - β) /sqrt(1 - β^2) ) fo
ですが、ご質問の数値例に沿い、あえてここでは、
f = (1 - β) fo
としましょう。β^2 << β の範囲ではそう近似できますし、相対論的因子
sqrt(1 - β^2) を省略すれば、送信者受信者の間で絶対時間が共有できます。当該問題の本質を浮き立たせるには寧ろ好都合かもしれません。
以下 (1 - β) を α と記述します。

バースト波を考えても「いわゆる電磁波としての移送エネルギ」で冒頭の光子エネルギのパラドクスを再現できます。周波数 fo [Hz]、電力 P [W] の電磁波を T [s] 送出、これが速度 β で遠ざかる受信装置に吸い込まれる様子を想像してください。周波数 α fo、「吸収」電力 α P、持続時間 T /α で、総エネルギ不変に間違いはありません。ところが、
受信電力として装置内部に出現するのは、α P では無く、α^2 P [W] になり、T /α 時間の累積エネルギは α P T [J] になりそうと言うのが話の骨子です。
差のエネルギ： P T - α P T = β P T [J] はどこに消えたのか・・・。
受信装置の遠ざかる速度の微加速、つまり運動エネルギに化けたようです。にわかには信じがたいでしょう。定量的に示してみましょう。

放射圧（輻射圧、光圧）はご存知でしょう。次の様に考えれば直観的です。エネルギと質量の等価性から、Pr [W] の電力放射は単位時間当たり質量 m = Pr / c^2 [kg/s] が、速度 c [m/s] で放出されている事になります。その反動としての放射圧は、
F = m c = Pr /c [N] というわけです。また照射された物体が電磁波を全吸収すれば Pr /c [N]、全反射すればこの２倍の圧力を感じます。力は極めて小さいものですが、仕事率 = 力×速度 [W] ですから、超高速で遠ざかる物体が受け取る運動エネルギは予想外に大きくなります。

さて、前述のように、P [W] は、β で遠ざかる受信装置に α P [W] のレートで吸収されていきます。時間は1 /α倍になるので、総エネルギに矛盾はありません。この時、
「送信者の観点では」受信装置に、放射圧 F = α P /c [N] が作用しています。
受信装置は仕事率 F (β c) = α β P [W] を運動エネルギ増加用（加速用）の電力として費やさざるを得ません。従って例えばアンテナとか反射鏡とかの出力として得られる受信電力は、
α P - α β P = α (1 - β) P = α^2 P [W] になってしまう筈です。エネルギでは α PT [J] となり、ご提示の条件、c /2 で遠ざかる物体内で電磁波として得られるエネルギは半減してしまうという理屈です。ちなみに、上記目減りを「受信者の観点で説明すると」送信者が高速で遠ざかっていますから、電磁波放出の際、送信側が放射圧に見合う運動エネルギを受け取らざるを得ず、受信者にとっての送信出力が目減りしている事になります。

光子の数不変で、ドップラー効果による光子の周波数低下（エネルギ低下）があっても、系に放射圧作用を加味する事で、総エネルギ不変性は維持されます。エネルギ変化は、送信者の観点からすると、受信側で生じており、受信者の観点では送信側で生じています。もっとも光子は「相互作用の単位」、量子力学的には観測して実体化ですから、伝搬路のどこでエネルギ低下が起こるのか詮索するのは野暮でしょう。

同様の考察を目にしたことは無く、発想後の熟成もなく、締め切られる前に取り急ぎ投稿と言う次第です。誤りで無ければよいですが。不可解な点がありましたらご指摘下さい。

回答No.1

tetsumyi

光子は周波数とか振幅はありません。
周波数に相当するエネルギーを持った単パルスと考えてください。
従って１００個の光子が２００個になることはありません。
光速の半分で遠ざかるとエネルギーが半分になるのではなく√1/2になると思うが赤方偏移と言う形で観測できます。

補足

ありがとうございます。
少し言葉足らずでした。
ここでいうパルスは光子のことではありません。ある周波数である振幅である時間続く光です。等速系で観測するとある個数(ここでは100個）の光子が得られます。
観測される光子１個のエネルギーは周波数に比例しますので、周波数が半分になる赤方偏移分、光子１個のエネルギーは1/2になるはずです。
振幅は変わりませんので単位時間内に受け取る光子の数は変わりません。受け取る時間は２倍になりますので、受け取る光子の数は２倍になるはずです。
従って受け取る全エネルギーに変化はありません。