離散数学の初歩的な問題の式の読み方について

質問

離散数学の勉強中に以下のような問題が合ったのですが、わかりません。

そもそも真ん中のように複雑な式を見たことがないので、まず日本語に変換することができなくてそこから進めないので、式の読み方教えて頂けないでしょうか。

よろしくお願いします。

回答No.1

tmppassenger · ベストアンサー

「~」は否定（でない）（普通は「￢」を使うけど...）
「∃x」は（右側の式を満たす）xが存在する
「∃x∈X p(x)」は、「集合Xに属するxで、p(x)を満足するようなxが存在する」
￢∃x∈X p(x)は、つまり「集合Xに属するようなxの中で、p(x)を満足するようなものは存在しない」

「≡」は同値の記号

同様に、「∀x∈X￢p(x)」は、「Xに属する全てのxに対し、p(x)でないことが成り立つ。」

つまり、問題の式は、
「『集合Xに属するようなxの中で、p(x)を満足するようなものは存在しない』というのと、『集合Xに属する全てのxに対し、p(x)でないことが成り立つ』というのは同値」
という事。これを示せと言う事。

まあ当たり前ですが...

回答No.2

ddtddtddt

初見じゃわかりませんよね(^^;)。数学ってこういう風に、ものすごく省略して書くんですよ。かっこで区切ると、こうなります。

　　～((∃x∈Ｘ)p(x))　≡　(∀x∈Ｘ)(～p(x))　　　(1)

　述語p(x)は、xに関する条件式と考えて良いです。～は否定「・・・でない」を表し、≡は「・・・は・・・で定義する」の意味に使わる事が多いです。「同等」または「同値」の場合もあります。

　で、本当は名前はどうでも良いんですけど、∃と∀は限定作用素とか量化子などと呼ばれます。∃は「・・・（p(x)）を満たす・・・（x）が存在する」。∀は「全ての・・・（x）で・・・（p(x)）が成り立つ」です。

　なので(1)の意味は基本的には、

　　～((∃x)p(x))　⇔　(∀x)(～p(x))　　　(2)

という事で、

「条件pを満たすxが存在しない」⇒「全てのxで条件pの否定、～pが成り立つ」

と読めます。逆から行くと、

「全てのxで条件pが成り立たない」⇒「条件pを満たすxは存在しない」

です。・・・いちおうOKですよね？(^^;)。

　ところがp(x)のxに限定条件を加えたい場合があります。つまり、

　　～((∃x)(x∈Xかつp(x)))　⇔　(∀x)(x∈Xかつ(～p(x)))　　　(3)

とかやりたい訳です。X≡{a1，a2，・・・}に属する（≡は＝と考えてOKです）、x＝a1，a2，・・・に対して(2)を考えますよと。これを、

　　～((∃x∈Ｘ)p(x))　⇔　(∀x∈Ｘ)(～p(x))　　　(4)

と略記します。(∃x∈Ｘ)や(∀x∈Ｘ)の事を、特殊限定作用素とか条件付き量化子と言います。

　さらに数学やその筋の先生達は大抵、こんなの「見てなれろ！」という態度に出るので、

　　～∃x∈Ｘ p(x)　≡　∀x∈Ｘ ～p(x)

がドド～ン！と現れる訳です。Xとp(x)，Xと～p(x)の間が、半角1文字分あいてるところが「ミソ」です(^^;)。さらにこの書き方では、≡と⇔が混用されてます。「定義した」なら「同値になるのは明らか」だからです。

　つまり 3×2＋1×4 を、3×(2＋1)×4 と読む馬鹿はいるか？、という態度です。これだって「決まりだろ？」と。ひどいと思うけど、現実はそうです。