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高校数学IIＢの問題：ベクトルを用いた三角形の性質
meowcooooの回答
5PA + aPB + PC = 0 始点をAに変えると -5AP + a(AB - AP) + AC - AP = 0 ⇔(a + 6)AP = aAB + AC ⇔AP = aAB/(a + 6) + AC/(a + 6)・・・☆ (1) = 6, (2) = 1, (3) = 6 ＞直線ＡＢと辺ＢＣとの交点Ｄ は 直線ＡPと辺ＢＣとの交点Ｄ のミスだとすると 内分点のベクトルなので AD=(8AB+AC)/(1+8)=8AB/9 +AC/9 また、直線の関係なのでAD=kAP・・・＊ ＊を使うと kAP=8AB/9 +AC/9 ⇔AP=8AB/9k +AC/9k ここで☆の式と係数を比較して、連立方程式を解くと a/(a+6)=8/9k, 1/(a+6)=1/9k ⇔a/(a+6)=8/9k, a+6=9k(両辺の逆数を取る ⇔a/(a+6)=8/(a+6)(右式を左式に代入 ⇔a=8, k=14/9 よって＊よりAD=14AP/9 ⇔AP=9AD/14 (4)=8.(5)=9.(6)=1.(7)=4 そして(8)=9.(9)=5 内積AB・AC=|AB||AC|cos∠BAC で求まる. ここで余弦定理から cos∠BAC=(|AB|^2 +|AC|^2 -|BC|^2)/2|AB||AC| なので代入して約分すると 内積AB・AC=|AB||AC|cos∠BAC =(|AB|^2 +|AC|^2 -|BC|^2)/2 値を代入して =(8+6-10)/2=2 (10)=2. 最後に☆の式をa=8を代入し、両辺二乗して |AP|^2=(16|AB|^2)/49 +(4AB・AC)/49 +(|AC|^2)/196 値を代入し =128/49 +8/49 +3/98 =256/98 +16/98 +3/98=275/98 (11)=2.(12)=7.(13)=5.(14)=9.(15)=8
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