高校数学 数列

質問

写真の(2)からわからないので
教えていただきたいです。

回答No.2

fronteye

まず、自然数 1～n の和を P[n] とします。
P[n]=1+2+3+…+n=n(n+1)/2
n段目の右端の数が、まさに P[n] です。
a[n] を P を使って表すと
a[n]=P[n-1]+1=(n-1)n/2+1=(n^2-n+2)/2 ……(1) ( *は乗算、^は累乗を表す)
次に、S[n] を n=5 の場合で考えます。
S[5]=11+12+13+14+15=11+(11+1)+(11+2)+(11+3)+(11+4)=5*11+P[4]=5*a[5]+P[4]
ここから
S[n]=n*a[n]+P[n-1]
(1)より
S[n]=n*a[n]+a[n]-1=(n+1)*a[n]-1=(n+1)(n^2-n+2)/2-1=(n^3+n)/2

回答No.1

asuncion

(1)
1段目には1個、2段目には2個、... という風に、n段目にはn個の数字が並ぶ。
n段目の先頭の数字は、「1～(n-1)段目までの数字の個数」の次の数。
「」の中は、Σ[k=1～(n-1)]k = n(n - 1) / 2
よって、n段目の先頭の数字anは、(n(n - 1) + 2) / 2 = (n^2 - n + 2) / 2

(2)
n段目にはn個の数字が並ぶ。先頭は(n^2 - n + 2) / 2、
最後は先頭 + (n - 1)だから、(n^2 - n + 2 + 2n - 2) / 2 = (n^2 + n) / 2
n段目の総計Sn = (先頭 + 最後) * 個数 / 2
= n(n^2 - n + 2 + n^2 + n) / 4 = n(2n^2 + 2) / 4 = n(n^2 + 1) / 2

(3)
Σ[k=1～n]ak = Σ[k=1～n]((k^2 - k + 2) / 2
= n(n + 1)(2n + 1) / 12 - n(n + 1) / 4 + n
= ((n^2 + n)(2n + 1) - 3n(n+ 1) + 12n) / 12
= (2n^3 + 3n^2 + n - 3n^2 - 3n + 12n) / 12
= (2n^3 + 10n) / 12
= n(n^2 + 5) / 6
これを(2)で求めたSnで割ると、
(2n(n^2 + 5)) / (6n(n^2 + 1)) = (n^2 + 5) / (3(n^2 + 1))
nを無限大にしたときの極限値は1/3