- ベストアンサー
四の十九 高校数学の数列です
自然数nに対して有理数a[n],b[n]を(3+√5)/2}^n=a[n]+b[n]√5)/2によって定めるとき a[n+1]とb[n+1]をa[n]とb[n]を用いて表せ 答えが無くて全然分からなかったです、移項しても上手くいかないし
- arutemawepon
- お礼率97% (1166/1191)
- 数学・算数
- 回答数1
- ありがとう数11
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
関連するQ&A
- 【至急】高校数学 数列
【至急】数学 数列の問題です。 数列｛a[n]｝はa[1]=1で、すべての自然数nについて a[n+1]=a[n]/{1+(n+1)a[n]} が成り立っている。 b[n]=1/a[n] ([n]=1,2,3,…)とおくとき、 b[n]=□/□•n(n+□)でありa[20]=□/□である。 また、Σ(k=1から20)b[k]=□、Σ(k=1から99)a[k]=□/□である。 □の部分が答えです。 よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 四の二十 高校数学の数列です
{a[n]}は初項A,公比αの等比数列で{b[n]}は初項B、公比βの等比数列でα>βとする x[n]=a[n]+b[n](n=1,2,...)によって定められる数列{x[n]}の始めの4項の値はx[1]=0,x[2]=1,x[3]=2,x[4]=5である (1)α、βを解とする2次方程式でx^2の係数が1であるものをもとめよ、A,Bも求めよ (2)x[n+2]=2x[n+1]+x[n](n=1,2,3,...)が成り立つことを証明せよ (3)任意のnに対してa[n]に最も近い整数はx[n]に等しいことを証明せよ x[n]=Aα^(n-1)+Bβ^(n-1) =A(α^(n-1)-β^(n-1)) であり、x[2]=1,x[3]=2,x[4]=5であるから、α^2-β^2=2(α-β),α^3-β^3=5(α-β) よってα+β=2,α^2+αβ+β^2=5 よりαβ=(α+β)^2-(α^2+αβ+β^2)=-1 よって求める方程式はx^2-2x-1=0(1) またA=1/(α-β)=1/2√2,B=-A=-1/2√2 (2)α、βは(1)をみたすからn>=1のときx[n+2]=Aα^(n+1)+Bβ^(n+1) =A(2α+1)α^(n-1)+B(2β+1)β^(n-1) =2(Aα^n+Bβ^n)+(Aα^(n-1)+Bβ^(n-1) よってx[n+2]=2x[n+1]+x[n]が成り立つ (3)(2)によりx[n]は整数であるから、|x[n]-a[n]|が0.5より小さいことを示せばよいが |x[n]-a[n]|=|b[n]=|Bβ^(n-1)|(2)であり、|B|<0.5,|β|=|1-√2|<0.5であるから(2)は0.5より小さい とあるのですが、まず(1)でα^2-β^2=2(α-β),α^3-β^3=5(α-β) よってα+β=2,α^2+αβ+β^2=5 よりαβ=(α+β)^2-(α^2+αβ+β^2)=-1の所がどうやって出てきたのか分かりません (2)は分かりました(3)はx[n]は整数であるから、|x[n]-a[n]|が0.5より小さいことを示せばよいの所で x[n]は整数が何故分かるのか？と、|x[n]-a[n]|が0.5より小さいことを示せばよいの所が何故それを示せば良いことになるのか分かりません 後は|β|=|1-√2|<0.5の|β|=|1-√2|の所がどこから出てきたのか分かりません まんまで引用できてませんが、宜しくお願いします、ていうか引用とかでどうやって説明すればよいのか分かりません、不可能です、値を変えるとか文字を変える位なら出きますが、それじゃだめなんですよね？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 四の十八 研究 高校数学の数列です
a[1]=2,b[1]=1の時 a[n+1]=2a[n]+5b[n] b[n+1]=a[n]+2b[n]によって定まる分数a[n]/b[n]は√5の近似値であるとあるのですが どうやって√5が近似値と分かるんですか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 高校数学 数列
次の3条件(i),(ii),(iii)を満たすような数列{a(n)}を考える。 (i) a(1)=1/2 (ii) a(2n+1)=a(2n)+1/2(2n-1)n(2n+1) (n=1,2,3…) (iii) Σ[k=1～2n] a(k)*(-1)^(k-1)=Σ[l=1～n] 1/(n+l) (n=1,2,3…) この数列の第2n+1項a(2n+1)を求めよ。 (iii)より Σ[k=1～2n] a(k)*(-1)^(k-1)=Σ[l=1～n] 1/(n+l) ー(1) Σ[k=1～2n+2] a(k)*(-1)^(k-1)=Σ[l=1～n+1] 1/(n+l) ー(2) (2)-(1)より、 a(2n+1)*(-1)^(2n)+a(2n+2)*(-1)^(2n+1)=1/2n-1/(2n+1) ⇔a(2n)=a(2n-1)-1/2n(2n-1) したがって、(ii)より、 a(2n+1)=a(2n)+1/2(2n-1)n(2n+1) =a(2n-1)-1/2n(2n-1)+1/2(2n-1)n(2n+1) =1/2(2n-1)n(2n+1)-1/2n(2n-1)+…+a(2)-a(1) =Σ[k=1～n] 1/2(2n-1)n(2n+1)-Σ[k=1～n] 1/2n(2n-1) =-Σ[k=1～n] 1/(2n-1)(2n+1) =(-1/2)Σ[k=1～n] {1/(2n-1)-1/(2n+1)} =(-1/2){1-1/(2n+1)} =-n/(2n+1)ー(答) 添削お願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 高校数学の等差数列の問題です 4-1
2つの数列a[n],b[n]は関係式b[n]=(1・a[1]+2・a[2]+......+n・a[n])/(1+2+....+n) (n=1,2,....)をみたしている b[n]が等差数列ならばa[n]も等差数列であることを示せ 解説は与式よりΣ[k=1→n]k・a[k]=b[n]・{n(n+1)}/2であるから n>=2において na[n]=Σ[k=1→n]k・a[k]-Σ[k=1→n-1] =n/2・{(n+1)・b[n]-(n-1)・b[n-1]} よってa[n]=1/2・{n(b[n]-b[n-1]+b[n]+b[n+1]} したがってb[n]が等差数列ならばb[n]-b[n-1]は定数で a[n](n>=2)はAn+Bの形になる(*) 所で与式によればa[1]=b[1]がいえる（b[0]はどんな値に決めてもよい) から(*)はn>=1においていえ、したがってa[n]は等差数列である とあるのですがn>=2において na[n]=Σ[k=1→n]k・a[k]-Σ[k=1→n-1]の所ですが、何故n>=2からなのですか？ｎは全部の数が当然含まれていていいと思ったのですが、駄目なんですか？駄目なら理由を知りたいです それと与式によればa[1]=b[1]がいえる（b[0]はどんな値に決めてもよい)の所でb[0]は何でどんな値でもいいのですか？そもそもb[0]なんて存在するんですか？普通b[1]とかからじゃないんですか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学Bの数列の問題です
数Bの問題です a[1]=1,a[n+1]=a[n]+2^n (n=1,2,3,...) この答えは a[n]=2^n-1であっていますか？ 分かる方お願いします ^は累乗です
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 高校数学、数列
（問題） a1=1／２、｛an／a(n-1)｝+｛2／ｎ＋１｝＝１(ｎはn≧２である整数）が成り立つ時、anを求めよ。 （解答） an／a(n-1）＝ｎ－１／ｎ＋１ ⇔an=ｎ－１／ｎ＋１a(n-1)（ｎ≧２）⇔an=（ｎ－１／ｎ＋１）（ｎ－２／ｎ）a(n-2)(n≧３）⇔an=（ｎ－１／ｎ＋１）（ｎ－２／ｎ）(n-３／ｎ－１）×、、、×３／５×２／４×１／３a1⇔an=1／ｎ（ｎ＋１）（ｎ≧２） この式はｎ＝１の時も成り立つ。 （疑問） an=ｎ－１／ｎ＋１a(n-1)（ｎ≧２）⇔an=（ｎ－１／ｎ＋１）（ｎ－２／ｎ）a(n-2)(n≧３）⇔an=（ｎ－１／ｎ＋１）（ｎ－２／ｎ）(n-３／ｎ－１）×、、、×３／５×２／４×１／３a1⇔an=1／ｎ（ｎ＋１）（ｎ≧２）の部分についてですが、 (1)an=ｎ－１／ｎ＋１a(n-1)（ｎ≧２）⇔an=（ｎ－１／ｎ＋１）（ｎ－２／ｎ）a(n-2)(n≧３）⇔、、、とやってゆくとｎ≧□の部分が１ずつ大きくなっていくはずなのに、最後の結論ではan=1／ｎ（ｎ＋１）（ｎ≧２）とｎ≧２なのはなぜですか？ (2)an=（ｎ－１／ｎ＋１）（ｎ－２／ｎ）(n-３／ｎ－１）×、、、×３／５×２／４×１／３a1と最後の行き着く先がa１というのはどのように考えているのでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 高校数学、数列
（問題） a1=1／２、｛an／a(n-1)｝+｛2／ｎ＋１｝＝１(ｎはn≧２である整数）が成り立つ時、anを求めよ。 （解答） an／a(n-1）＝（ｎ－１）／（ｎ＋１） ⇔an=｛（ｎ－１）／（ｎ＋１）｝a(n-1)（ｎ≧２）⇔an=｛（ｎ－１）／（ｎ＋１）｝｛（ｎ－２）／ｎ｝a(n-2)(n≧３）⇔an=｛（ｎ－１）／（ｎ＋１）｝｛（ｎ－２）／ｎ｝｛(n-３）／（ｎ－１）｝×、、、×３／５×２／４×１／３a1⇔an=1／｛ｎ（ｎ＋１）｝（ｎ≧２） この式はｎ＝１の時も成り立つ。 （疑問） an=｛（ｎ－１）／（ｎ＋１）｝a(n-1)（ｎ≧２）⇔an=｛（ｎ－１）／（ｎ＋１）｝｛（ｎ－２）／ｎ｝a(n-2)(n≧３）⇔an=｛（ｎ－１）／（ｎ＋１）｝｛（ｎ－２）／ｎ｝｛(n-３）／（ｎ－１）｝×、、、×３／５×２／４×１／３a1⇔an=1／｛ｎ（ｎ＋１）｝（ｎ≧２） の部分についてですが、 an=（ｎ－１）／（ｎ＋１）a(n-1)（ｎ≧２）⇔an=｛（ｎ－１）／（ｎ＋１）｝｛（ｎ－２）／ｎ｝a(n-2)(n≧３）⇔、、、とやってゆくとｎ≧□の部分が１ずつ大きくなっていくはずなのに、最後の結論ではan=1／｛ｎ（ｎ＋１）｝（ｎ≧２）とｎ≧２なのはなぜですか？
- 締切済み
- 数学・算数
- 高校数学の数列のΣ計算の問題です 4-6
数列a[n](n=1,2,...)においてΣ[k=1→n]{(k+1)(k+2)a[k]}/3^(k-1)=-1/4・(2n+1)(2n+3)が成り立っている 次の問いに答えよ (1)a[n]をnの式で表せ (2)Σ[k=1→n]a[k]を求めよ (1)は分かりましたが(2)で使うと思うので、解説は(1）から書きます (1)n>=2のとき(Σ「k=1→n]-Σ[k=1→n-1]){(n+1)(n+2)a[n]}/3^(n-1)=1/4・｛(2n+1)(2n+3)-(2n-1)(2n+1)であり、a[n]=-(2n+1)/{(n+1)(n+2)}・3^(n-1) (n>=2) また与えられた等式にn=1を代入して(2・3a[1])/3^0=-1/4・3・5 よってa[1]=-5/8 (2)はa[k]=b[k]-b[k-1](k>=2)をみたすb[k]として(A・3^k)/(k+2)の形のものが、とりあえず考えられる (A・3^n)/(n+2)-{A・3^(n-1)}/(n+1)={A(2n+1)3^(n-1)}/(n+1)(n+2)はA=-1のときにa[n](n>=2)と一致 するからΣ[k=1→n]a[k]=-5/8-Σ[k=2→n]{3^k/(k+2)-3^(k-1)/(k+1)} =-5/8-{3^n/(n+2)-3^(2-1)/(2+1)} =3/8-3^n/(n+2) これはn>=2で適用できる式であるがn=1のとき{3^n/(n+2)-3^(2-1)/(2+1)}=0であるからn=1でも適する とあるのですが a[k]=b[k]-b[k-1](k>=2)をみたすb[k]として(A・3^k)/(k+2)の形のものが、とりあえず考えられるの所で 何故そんな事が言えるのか分かりません、b[k]として(A・3^k)/(k+2)の形この式はどこから来たのですか？ 後はΣ[k=1→n]a[k]=-5/8-Σ[k=2→n]{3^k/(k+2)-3^(k-1)/(k+1)}が成り立つのが分かりません a[k]は(1)で出したa[n]=-(2n+1)/{(n+1)(n+2)}・3^(n-1にnをkにした式のはずですし、k=1の時は-5/8ですがこれは分けて考える必要がありますから、何故一つの式に a[k]=-5/8-Σ[k=2→n]{3^k/(k+2)-3^(k-1)/(k+1)}のように入れているのか分かりません
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 高校数学のタイルを使った数列の問題 4-12
問題http://imgur.com/bhd5ggc 解説http://imgur.com/AdTuBsX 解説の最初の 右端が白であるものがa[n]-b[n]通りのあとのb[n+1]=(a[n]-b[n]),a[n+1]-b[n+1]=a[n] が何でそうなるのか分かりません 後は9行目位にあるa[n+1]=a[n]+a[n-1](n>=2)の所ですが、これがnが2以上となっているのは１だったらa[0]が出てしまうからですか？a[0]ってa[1]=2からしか与式にないから出せないってことですか？ c[n]=Aα^n+Bβ^nと置こうと思ったのは何故なんですか？根拠を知りたいです 後はa[0]=1と定めればとありますが、何で勝手に0とか決めていいんですか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
御返答有難うございます
補足
解決しました