• ベストアンサー
  • 困ってます

高校数学数列の問題です。

 数列 { a[n] } を次のように定める。 (i)a[1] = 0 (ii)n = 2, 3, 4, … に対し a[n-1] ≧ n のとき a[n] = a[n-1] - n a[n-1] < n のとき a[n] = a[n-1] + n とする。 (1)a[7] を求める。 (2)a[k] = k のとき、条件 m > k、a[m] = m を満たす最小の整数 m を k で表す。 (3)a[2018]を求める。  昨夜 https://okwave.jp/qa/q9573183.html で同じ質問をした者です。せっかく回答いただいたのに、ぱっと見でわかったと勘違いしてました。じっくり取り組んだら全然理解していませんでした(笑)。 (2)   a[k] = k (kは自然数) より n = k+1 のとき a[k] = k < k+1 なので   a[k+1] = a[k] + (k+1) = 2k + 1.  n = k+2 のとき a[k+1] = 2k + 1.   2k+1 - (k+2) = k - 1 ≧ 0.  したがって   a[k+2] = k-1.  ある自然数 j < k に対して   a[k+2j-1] = 2k + j   a[k+2j] = k - j と仮定する。  n = k+2j+1 のとき   a[k+2j] - k+2j+1  = (k-j) - (k+2j+1) = -3j-1 < 0 だから、a[n]の定義により   a[k+2j+1] = a[k+2j] + k+2j+1        = (k-j) + k+2j+1        = 2k + j + 1.  n = k+2j+2 のとき   a[k+2j+1] - (k+2j+2)   (2k+j+1) - (k+2j+2) = k - j - 1 ≧ 0 ( j < k なので k - j ≧ 1 ) だから   a[k+2j+2] = a[k+2j+1] - k+2j+2        = (2k+j+1) - k+2j+2        = k - j - 1.  ここまでは何とか解読しました(笑)。  まとめると、ある自然数 j < k に対して   a[k+2j-1] = 2k + j   a[k+2j] = k - j と仮定したとき   a[k+2j+1] = 2k + j + 1   a[k+2j+2] = k - j - 1 が成立するわけですが、ここから >  j + 1 < k ならば全ての自然数 j < k に対して >  a[k+2j-1] = 2k + j >  a[k+2j] = k - j ・・・・・ (2.1) > が成り立つ が、わかりにくいです。数学的帰納法を使うのでしょうが、どう適用すればいいのかわかりません。

共感・応援の気持ちを伝えよう!

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.1

(2) a(k)=k P(j)={a(k+2j-1)=2k+j}&{a(k+2j)=k-j} とする k+1>kだから a(k+1)=k+k+1=2k+1 2k+1-(k+2)=k-1>0だから a(k+2)=k-1 だから P(1)={a(k+1)=2k+1}&{a(k+2)=k-1}は真 ある自然数j<kに対して P(j)={a(k+2j-1)=2k+j}&{a(k+2j)=k-j}が真と仮定すると a(k+2j-1)=2k+j a(k+2j)=k-j だから k+2j+1-(k-j)=3j+1>0だから a(k+2j+1)=2k+j+1 2k+j+1-(k+2j+2)=k-j-1だから a(k+2j+2)=k-j-1 だから P(j+1)={a(k+2j+1)=2k+j+1}&{a(k+2j)=k-j-1}も真 だから 全ての自然数j<kに対して P(j)={a(k+2j-1)=2k+j}&{a(k+2j)=k-j}が真 だから a(k+2j-1)=2k+j a(k+2j)=k-j…(2.1) が成り立つから j=k-1とすると a(3k-3)=2k+k-1 a(3k-2)=1 だから 3k-1>1だから a(3k-1)=3k 3k≧3kだから a(3k)=3k-3k=0 3k+1>0だから a(3k+1)=3k+1…(2) ∴ m=3k+1

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

>  a[k+2j+2] = a[k+2j+1] - k+2j+2 >      = (2k+j+1) - k+2j+2 >      = k - j - 1.   a[k+2j+2] = a[k+2j+1] - (k+2j+2)       = (2k+j+1) - (k+2j+2)       = k - j - 1. の間違いでした。  早速の回答本当にありがとうございます。いまからじっくり読んでみます。とても考えつかない解法ですのでとても楽しみです(笑)。これでもわからなかったらまた改めて質問させていただきます。

関連するQ&A

  • 数学の数列です

    自然数を項とする数列 {a[n]} (n=1,2,3,…) が次の漸化式をみたすとする. a[n+1] = (1/2)a[n] (a[n]が偶数の時) かつ a[n+1] = a[n]+1 (a[n]が奇数の時) このとき,次の問いに答えよ. ⑴ a[1] ≧2ならば,a[k]<a[1]となる奇数a[k]が存在することを示せ. ⑵ a[1]がどんな自然数であっても,a[k]=1となる項が存在することを示せ. この問題の⑵がわかりません。 帰納法でとくと思のですが、どうするのでしょうか? a[1]=1,2,3,.......,2m まで成り立つと仮定するのでしょうか? その辺の帰納法の使い方も曖昧です。 教えて下さい。 解答も書いて頂けると嬉しいです。

  • 数学の問題  私の答え 合ってますか?

    数列(an )初項a1 から第 n項までの和をSnとあらわす。 この数列が、 (n+2 )an=3Sn を満たす。 数列 anの初項a1が整数である時、Snは、整数であることを示せ。 この問題で、 (n+2 )a(n)=3S(n) (n+1 )a(n-1)=3S(n-1) n≧2 からanを求めて、 (n+2)an =3Sn (n+1)an-1=3Sn-1(n≧2) これから a(n)-a(n-1)=3a(n) a(n)=-1/2a(n-1) 以下 数学的帰納法を用いて n=2 a(2)=-1/2a(1) 整数 n=k a(k) =-1/2a(k-1) コレを整数と仮定すると n=k+1 a(k+1)=-1/2a(k) a(k)が整数なので、a(k+1)も整数 数学的帰納法により すべての自然数で、a(n)は、整数。 よって、 Sn=Σak=a1(1-(ー1/2)^n )/1-(-1/2) コレで、Snも整数であることが示せた これは、正解でしょうか??? お願いします。

  • 四の二十一 高校数学の数列です

    関数f(x)を次のように定義する f(x)={1(x=0のとき),0(x≠0のとき)} このときf(x)を使って数列a[0],a[1],a[2],....をa[0]=0, a[n]=a[n-1]+f{(a[n-1]+1)^2-n}(n>=1)で定義する このとき、a[n]=[√n](n>=0)であることを証明せよ ただし、[x]はxをこえない最大の整数を表す 回答 a[0]=0であるからa[n]=[√n](1)はn=0のときに成り立つ n=kのときに(1)が成り立つと仮定し[√k]=mとおくと a[k+1]=a[k]+f{(a[k]+1)^2-(k+1)} =m+f{(m+1)^2-1-k} よってk=(m+1)^2-1のときはa[k+1]=m+1,[√k+1]=m+1よって a[k+1]=[√k+1] またm^2<=k<(m+1)^2-1のときはa[k+1]=m, [√k+1]=m よって[√(k+1)] したがってn=k+1のときも(1)が成り立つ よって数学的帰納法により0以上の全ての整数について位置が成り立つ とあるのですが[√k+1]=m+1とか[√k+1]=mは何のために求めるのですか?

  • 四の二十一 高校数学の数列再

    関数f(x)を次のように定義する f(x)={1(x=0のとき),0(x≠0のとき)} このときf(x)を使って数列a[0],a[1],a[2],....をa[0]=0, a[n]=a[n-1]+f{(a[n-1]+1)^2-n}(n>=1)で定義する このとき、a[n]=[√n](n>=0)であることを証明せよ ただし、[x]はxをこえない最大の整数を表す 回答 a[0]=0であるからa[n]=[√n](1)はn=0のときに成り立つ n=kのときに(1)が成り立つと仮定し[√k]=mとおくと ここまででkが整数と合ったのですがkが整数というのはどこで分かりますか?

  • 高校数学 数列

    第n項がa(n)=[log{2}(n)] (2は底 nは真数) (n=1,2,3…)で表される数列{a(n)}について、 Σ[k=1~(2^m)-1] a(k) を求めよ。 ただし、[log{2}(n)]はlog(2)nを超えない最大の整数を表す。また、mは自然数とする。 2^(k-1)≦n≦2^k-1のとき、 k-1≦log{2}(n)≦log{2}(2^k-1) より、 [log(2)n]=k-1 また、[log(2)n]=k-1となるようなnは、2^k-1-2^(k-1)+1=2^(k-1) 個ある。 よって、 Σ[k=1~(2^m)-1] a(k) =Σ[k=1~m] (k-1)*2^(k-1) =Σ[k=0~m-1]k*2^k =Σ[k=1~m-1]k*2^k これをSとおくと、 2S-S=Σ[k=0~m-1]k*2^(k+1)-Σ[k=0~m-1]k*2^k ⇔S=(m-1)*2^m-Σ[k=0~m-1]2^k =(m-2)*2^m+2ー(答) 添削お願いします。

  • 数学IIについて質問です

    この問題が解けません。 数列{An}は、条件A1=7、An+1=(An)^3 (n=1,2,3,・・・)によって定められているとする。 nは自然数とするとき、Anを3^nで割ったときの余りが1になることを数学的帰納法によって証明せよ。 僕自身ここまではいけました。 (i)n=1のとき A1=7より A1÷3^1=7÷3=2 余り1 よってn=1のとき成り立つ (ii)n=kのときに成り立つと仮定する このとき、 Ak=3^k×M+1・・・(1) (Mは自然数で(1)の商である) が成り立つことが分かる。 そして n=k+1のとき (1)より Ak+1=3^(k+1)×M+1 この先がどうやって解けばいいか分かりません。 PCを使い慣れていないので、少なからず変な表示のところがあると思いますが よろしくお願いします。

  •  高校数学数列の問題です。

     以下の問題がまったくわかりません。  数列 { a[n] } を次のように定める。 (i)a[1] = 0 (ii)n = 2, 3, 4, … に対し a[n-1] ≧ n のとき a[n] = a[n-1] - n a[n-1] < n のとき a[n] = a[n-1] + n とする。 (1)a[7] を求める。 (2)a[k] = k のとき、条件 m > k、a[m] = m を満たす最小の整数 m を k で表す。 (3)a[2018]を求める。 (1)  n = 2 のとき a[1] = 0 < 2 なので   a[2] = a[1] + 2 = 2.  n = 3 のとき a[2] = 2 < 3 なので   a[3] = a[2] + 3 = 5.  n = 4 のとき a[3] = 5 ≧ 4 なので   a[4] = a[3] - 4 = 1.  n = 5 のとき a[4] = 1 < 5 なので   a[5] = a[4] + 5 = 6.  n = 6 のとき a[5] = 6 ≧ 6 なので   a[6] = a[5] - 6 = 0.  n = 7 のとき a[6] = 0 < 7 なので   a[7] = a[6] + 7 = 7.  この結果より   a[1] a[2] a[3] a[4] a[5] a[6] a[7]    0   2   5   1   6   0   7 と並べても規則性がわからないので(2)(3)はお手上げです。

  • 数学の、数列の問題です。

    数列{a(n)}を、a(1)=a(2)=1、a(n+2)=2^(n-1)/a(n+1) +a(n) (n = 1,2,3,・・・) により定める。 (左辺=数列のn+2項目、右辺=数列のn+1項目 分の 2の(n-1)乗(分数終わり) + 数列のn項目) (1) 自然数mに対して、a(2m-1)、a(2m) (数列の2m-1項目、数列の2m項目)を求めなさい。 (2) 自然数nに対して、a(n)を3で割った余りを r(n)とする。      Σ[n = 1、N] r(n) >1000  を満たす最少の自然数Nを求めなさい。   (左辺=Σの下にn = 1、上にN、右に r(n) )  解説もよろしくお願いします。  

  • 数列の問題です。ヒントをください

    【問題文】 nを自然数として、2つの数列 An=2^n Bn=3n+2 について{An}の項のうち{Bn}の項であるものを小さい順に並べることで得られる数列を{Cn}とする。 {Cn}は等比数列であることを示せ。 自分は まず基本通りC1から順にC4くらいまで書き出していきました。その際、An=2^nだから、Bn=3n+2=2{(3n/2)+1}として{(3n/2)+1}が2^kのような形になるように気をつけました 結果は C1=8=2^3 C2=32=2^5 C3=128=2^7 C4=512=2^9 やはり等比になっているけれど ここからどうしようか悩み、帰納法でやってみようかと思い Cn=8・4^(n-1)(nは自然数)…(※) と推定し (I)n=1の時、(※)は明らかに成立 (II)n=kのとき(※)が成立すると仮定し、この仮定下でn=k+1のときも(※)が成立することを示したい …けどどうやって? となりました Anの項のうちBnの項であるものをがCnといっても そうなるときのnの値は全てばらばらだし… それ以前に方針が間違っているのでしょうか?

  • 数学的帰納法の不等式の問題です

    数学的帰納法の不等式の問題です。 nは自然数とする。不等式 2n が成り立つことを、数学的帰納法を用いて証明せよ n=1のときはわかるのですが、n=kのとき成り立つと仮定してn=k+1のときに成り立つことを証明する解き方がわかりません。 教えてください!