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中3 空間図形
staratrasの回答
- staratras
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立方体を斜めの正面から(底面の対角線HFあるいは上面の対角線DBの延長方向）から見た接点を通る断面図（平面AEGC）で考えます。ただし下の図で、A,E,O（球の中心）,C,G,I（球と題意を満たす平面PGQの接点）は断面の平面上の点ですが、B,D,F,H,P,Qはそうではありません。（見かけ上同じ方向に見えているだけです） 立方体を対角線方向（真正面から45度）で見ることになりますので、断面はたて4、横4√2の長方形です。球はその中心Ｏを通るどんな平面で切っても断面は球の半径と同じ半径2の円です。 ここでポイントは円外のある点から一つの円に2本の接線を引くとき、ある点からそれぞれの接点までの長さは等しいということです。これはある点と円の中心を結んで2つの直角三角形を作れば、斜辺は共通でもう1辺は円の半径で同じになることから、三平方の定理から残りの1辺の長さもそれぞれ等しくなり合同となり明らかです。このため同じ記号（■と▲）を付けた線分の長さは等しくなります。 ▲をｘと置くと、三平方の定理から4^2+(2√2-x)^2=(2√2+x)^2 が成り立ちます。 これを展開して整理すると、8√2x=16 よりx=√2 CP、CQと平面AEGCのなす角は45度だから、CP=CQ=√2・√2=2 求める三角錐の体積は （1/2）CP・CQ・CG/3=(1/2)・2・2・4/3=8/3 （立方センチメートル）です。
noname#227255
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