円と動点

質問

長さが1の線分PQが、一辺の長さ1の正方形ABCDの周上を図のように矢印の方向に向かって動いている。線分PQが一周した時、線分PQの中点Mの描く図形について、その周の合計の長さLを求めなさい。
この問題が分かりません。どなたか説明してください。

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

△PBQは直角三角形であり、Mは斜辺PQの中点なので、BM=PM=PQ/2=1/2(=一定)
なので、PがAB上を動くとMはBを中心とした半径BM=1/2の1/4円周上を動きます。
PがBC上を動くときはMはCを中心とした半径CM=1/2の1/4円周上を動きます。
同様に、PがCD上を動くときはMはDを中心とした半径DM=1/2の1/4円周上を動きます。
同様に、PがDA上を動くときはMはAを中心とした半径AM=1/2の1/4円周上を動きます。
従って、Pが一辺の長さが1の正方形の周囲を一巡すると、Mは半径1/2の1/4円周上を4個分移動します。
すなわち、Mが通る円周の長さの総和Lは半径1/2の円一個分の円周の長さに等しいから
L=2π(1/2)=π (円周率）... (答)
となります。

補足

詳しく教えてくださり、ありがとうございました！