極限

質問

極限値のことを考えていてふと気になったのですが
一辺が1の正方形ABCDで辺ABの中点をE，正方形の中心をF，辺BCの中点をGとして，図形を新しくAEFGCDとすると，正方形が3つによって成る階段型になる。このとき，A～Cまでの辺の長さの合計は
4×(1/2)=2
このような作業を辺ADと辺DC以外の部分に出来る正方形に同様の作業を繰り返すと，階段型がどんどんと滑らかになって，三角形になるように思うんですが，そうするとA～Cまでの辺の長さの合計は√2になってしまいませんか??式とかで証明できるのか，それとも間違っているのかが気になって，どなたか解説お願いします。
上の作業を図で書くと
｜￣￣￣￣￣｜＝｜￣￣｜＝＝＝＝｜￣｜
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｜＝＝＝＝＝｜→｜＝＝＝￣￣｜→｜＝＝＝￣｜　　→・・・
｜＝＝＝＝＝｜＝｜＝＝＝＝＝｜＝｜＝＝＝＝ ￣｜
　￣￣￣￣￣＝＝＝￣￣￣￣￣＝＝＝￣￣￣￣￣￣
こんな感じです。わかりにくくてすいません。("="は図形が崩れないように入れているだけなので無視してください。)

回答No.2

banakona · ベストアンサー

ｎ回目の操作において、階段の１つの水平面の長さは１／２^n、
　　水平面の数は２^n　
よって水平面を全て繋ぐと　２^n×１／２^n＝１

階段の垂直面もあるので同様にして１

よって　１＋１＝２

操作回数のｎが表れないので、何回操作しても２。

その一方で、面積は直角二等辺三角形に近づいていきます。

ｎ回目の操作で図形から削り取られる正方形に注目すると、正方形１個の面積は　１／２^(2n)　　
この正方形が２^(n-1)個あるので、減る面積は、２^(n-1)×１／２^(2n)＝１／２^(n+1)

ｎ回目の操作までに減った面積の合計は、初項１／２^2、公比１／２の等比級数になるので
　　　１／２^2／（１－１／２）＝１／４／（１／２）＝１／２
残る面積は　１×１－１／２＝１／２
となって、面積は直角二等辺三角形に近づいていくのが分かります。

正方形の１辺が１だったので分かりにくい。ａとかにすると、もっとはっきりするかも。

補足

上にも書いたのですが，各辺の長さは極限値では0になりますよね??
ではこれはどういった図形になるのでしょうか??

回答No.5

arrysthmia

＞ 肉眼で見る限りは段差はわからなくなるはずですが。

肉眼で見ると間違える　…ということの実例が、この問題なのでしょう。
パッと見無視できそうな誤差と、無視してもよい誤差は異なる　…と
言い換えることもできます。

作業を繰り返すごとに、ますます滑らかでなくなってゆく折れ線の極限が、
滑らかこの上ない対角線と一致する訳がない　…という評価はできませんか？

因みに、折れ線の長さは、各操作段階で常に 2 ですから、
「折れ線の長さの極限」は 2 で間違いありませんが、
操作を繰り返した極限は、微分不可能な折れ目を稠密に持つ曲線ですから、
「折れ線の極限の長さ」を定義することができるか否かは
微妙な問題です。

お礼

それで下の回答者さんが言っていたコッホ曲線などを調べろと言っていたことに繋がるのですね。
アドバイスありがとうございました。

回答No.4

banakona

＃２です。

＞上にも書いたのですが，各辺の長さは極限値では0になりますよね??

その代わり、辺の個数が極限では＋∞になります。
０×∞がいくつになるかは、その都度、慎重に検討する必要がありますが、本問の場合は「２になる」ということです。

回答No.3

arrysthmia

＞ 作業を繰り返すと、階段型がどんどん滑らかに

逆です。
作業を繰り返すごとに、折れ目の数が増えて、
どんどんギザギザになってゆくでしょう？
長さ 2 の折れ線を、長さ √2 の対角線の近所に
押しこんでいるのですから、
近づければ近づける程、シワが増えてゆくのです。
滑らかなんて、とんでもない。

補足

滑らかにという表現は少しおかしいかもしれませんが，
一辺の長さだけで考えると1/2^n
(1/2^n)=0 (n→∞)
となって肉眼で見る限りは段差はわからなくなるはずですが。

回答No.1

rabbit_cat

どんなに細かくしても、長さの合計は２のままです。

そうですね。
「コッホ曲線」とか「フラクタル」とかいった単語で検索してみると、ちょっと似たような話がたくさん引っかかると思います。

補足

調べました^^これはおもしろい話ですね。
質問とは関係ないのかもしれないのですが，
こういったものは数学の幾何学の分野になるのでしょうか??