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図形の問題教えてください

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  • 質問No.58961
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お礼率 87% (42/48)

正方形ABCDの辺AB、BC、CD、DAの中点をP,Q,R,Sと
します。AQ、BR、CS、DPを結んだときに正方形の内部にできる
小さな正方形の面積がABCDの面積の5分の1であることを、小学生
にわかるように説明するには、どうしたらいいでしょうか?
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.3
レベル9

ベストアンサー率 30% (25/83)

方眼紙を使いましょう。
正方形ABCDを
点A(2,6)、点B(0,2)、点C(4,0)、点D(6,4)
となるように書きます。
こうすると、
点P(1,4)、点Q(2,1)、点R(5,2)、点S(4,5)
となるので
後は面積の計算でも、
マス目を数えるでもやらせて見ましょう。

これは各点の座標が0以上の整数で表せ、かつ、最小になる座標です。
ちなみに正方形ABCDの面積は20、小さな正方形の面積は4になります。

また、各点のX座標、Y座標をそれぞれ半分にすると、
点A(1.0,3.0)、点B(0.0,1.0)、点C(2.0,0.0)、点D(3.0,2.0)
点P(0.5,2.0)、点Q(1,0.5.0)、点R(2.5,1.0)、点S(2.0,2.5)
正方形ABCDの面積は5、小さな正方形の面積は1になります。
方眼紙のマス目を0.5単位で取れる(小数が使える)なら
こちらの方が良いかもしれないですね。
お礼コメント
adagio

お礼率 87% (42/48)

回答ありがとうございます。
とてもわかりやすいですね。三角形の面積公式だけで解けるので、こ
れならばっちり教えられそうです。正方形ABCDの1辺を整数にし
て考えていたので、斜めにするのは盲点でした。
投稿日時 - 2001-04-03 02:05:23
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  • 回答No.4
レベル7

ベストアンサー率 45% (9/20)

こんなのは如何でしょう. keronyanさんの記号を使わせて頂きます. 平行四辺形AQCSの面積は元の正方形ABCDの1/2ですね. 台形AHGSの面積と求める正方形EFGHの面積との比を求めます. AH : HE = 1 : 1 AH : SG = 2 : 1 (この二式は中点連結定理を知ってれば 分かりますが,小学校で習う範囲かはわかりません ...続きを読む
こんなのは如何でしょう.

keronyanさんの記号を使わせて頂きます.
平行四辺形AQCSの面積は元の正方形ABCDの1/2ですね.

台形AHGSの面積と求める正方形EFGHの面積との比を求めます.

AH : HE = 1 : 1
AH : SG = 2 : 1 (この二式は中点連結定理を知ってれば
分かりますが,小学校で習う範囲かはわかりません)

従って
台形AHGS : 正方形EFGH = 3 : 4

台形EQCFも同様ですから
平行四辺形AQCS : 正方形EFGH = 3 + 4 + 3 : 4 = 10 : 4

以上から
正方形ABCD : 正方形EFGH = 20 : 4 = 5 : 1
お礼コメント
adagio

お礼率 87% (42/48)

回答ありがとうございます。
中点連結定理は塾で習っているので、理解できるかなと思います。わ
たしにとっては、Hyper30さんの解法が計算が少なくて好みで
す。
投稿日時 - 2001-04-03 02:13:42


  • 回答No.1
レベル9

ベストアンサー率 25% (31/122)

AQとBRとの交点をE、BRとCSとの交点をF、CSとDPとの交点をG、DPとAQとの交点をHとおきます。 AとFとを結ぶ線を引き、その中点をXとおくと 三角形ABEとAFEが等しく、AHXとFGXとが等しければ四角形EFGHは四角形ABCDの5分の位置であることが判ります。 証明は相似形と合同系の条件を見いだせばいいのですが、 小学生ならば紙に同じ絵を描いて、三角形を切り出して大きさを比較してや ...続きを読む
AQとBRとの交点をE、BRとCSとの交点をF、CSとDPとの交点をG、DPとAQとの交点をHとおきます。
AとFとを結ぶ線を引き、その中点をXとおくと
三角形ABEとAFEが等しく、AHXとFGXとが等しければ四角形EFGHは四角形ABCDの5分の位置であることが判ります。
証明は相似形と合同系の条件を見いだせばいいのですが、
小学生ならば紙に同じ絵を描いて、三角形を切り出して大きさを比較してやればいいのでは。
お礼コメント
adagio

お礼率 87% (42/48)

さっそくの回答ありがとうございました。
説明不足でしたが、小学生といっても六年生ですので、紙を切って
同じでしょ?では納得しないでしょうねー。かといって、三角形ABE
とAFEが等しいという証明を説明するのも大変です。
投稿日時 - 2001-04-03 01:43:55
  • 回答No.2
レベル7

ベストアンサー率 16% (2/12)

実際に正方形の紙(折り紙とか)に線を引いて切ってみましょう。「小さな正方形」のほかに三角形が4つと台形が4つできると思うのですが、これをパズルのように上手に組み合わせていくと、「小さな正方形」の4倍の大きさの正方形ができるはずです。 厳密な証明ではないし、「どうして?」と聞かれても説明できませんが、視覚的には理解できるかな、と。 ...続きを読む
実際に正方形の紙(折り紙とか)に線を引いて切ってみましょう。「小さな正方形」のほかに三角形が4つと台形が4つできると思うのですが、これをパズルのように上手に組み合わせていくと、「小さな正方形」の4倍の大きさの正方形ができるはずです。
厳密な証明ではないし、「どうして?」と聞かれても説明できませんが、視覚的には理解できるかな、と。
お礼コメント
adagio

お礼率 87% (42/48)

回答ありがとうございます。
以前、8×8の正方形を切り合わせて13×5の長方形にするという
インチキパズルをしてみせたことがあるので、切って合わせてホラ!
では、ちょっと納得しないかも、、、。
投稿日時 - 2001-04-03 01:54:19
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