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円を通過する扇形 面積問題
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回答に画像を添付する術を知りませんので、どうかご容赦ください。 なお、回答内容に沿って作図して頂き、さらに疑問があれば補足してください。 添付画像の上段左から順に図(1)、図(2)、図(3)、下段左から順に図(4)、図(5)とし、 円の中心を点O1、半径をr1、扇形の中心を点O2、半径をr2、中心角をθ’、円は図(3)のように、扇形に内接する大きさであるとします。(円の大きさ・位置を特定しても、扇形の中心・半径・中心角は変わり得ます。) また、図における円の中心を通る縦線を直線l1とし、扇形の左側の半径(線分)をO2A、右側の半径(線分)をO2Bとします。 点O2から円の右側に引いた接線を直線l2とし、この直線とO2Aのなす角の大きさを、時間変化を加味してωt(ωは角速度、tは時間)とすると、図(1)ではωt=0になります。 そして、扇形が図(2)のように点O2を中心に右回りすると、直線l1とO2Aのなす角の大きさは、θ'/2-ωt O2Aと円の交点をCとD、O2Aと直交する円の直径とO2Aの交点をH1、∠CO1H1=α(0≦α≦π/2)とすると、 (r2-r1)sin(θ’/2-ωt)=r1cosα→cosα={(r2-r1)/r1}sin(θ’/2-ωt)-(a) なお、この関係は、0≦ωt≦θ’の間で成り立ちます。(図(1)~図(3)) また、θ’<ωt≦2θ’の間では(図(4)と図(5))、O2Aが円から離れるので、O2Bと円の関係を考えます。 直線l1とO2Bのなす角の大きさは、ωt-3θ’/2 O2Bと円の交点をEとF、O2Bと直交する円の直径とO2Bの交点をH2、∠EO1H2=β(0≦β≦π/2)とすると、 (r2-r1)sin(ωt-3θ’/2)=r1cosβ→cosβ={(r2-r1)/r1}sin(ωt-3θ’/2)-(b) さらに、2θ’<ωtでは、O2Bも円から離れます。 この扇形が一周すると、O2Aが再び円に接触するようになりますが、これ以上は省略します。 ここで、円:x^2+y^2=r^2の面積Sは、4∫[0→r]√(r^2-x^2)dx(2∫[-r→r]√(r^2-x^2)dx) x=rcosθとおくと、dx/dθ=-rsinθ→dx=(-rsinθ)dθ x:0→rのときθ:π/2→0であるから、 S =4∫[π/2→0]{√(r^2-r^2cos^2θ)}・(-rsinθ)dθ =4∫[π/2→0]rsinθ・(-rsinθ)dθ =4r^2∫[0→π/2]sin^2θdθ =4r^2∫[0→π/2]{(1-cos2θ)/2}dθ =2r^2[θ-(sin2θ)/2][0→π/2] =πr^2 円の露出面積は、これと同様に考えて(θは変数で、θ’は定数です。)、 ・0≦ωt≦θ’のとき 2r^2∫[α→π]{(1-cos2θ)/2}dθ =r^2[θ-(sin2θ)/2][α→π] =r^2{π-α+(sin2α)/2}(αは、上式(a)の関係を満たします。) ・θ’<ωt≦2θ’のとき 上と同様に(0≦ωt≦θ’のときを鏡に映した状態として捉え、θ:β→πとします。)、 r^2{π-β+(sin2β)/2}(βは、上式(b)の関係を満たします。) なお、三角関数を用いないで、αとβの値を直接求めることは、自分の能力ではできませんでした。
その他の回答 (2)
何度も失礼致します。 tは変数で、ωとθ’は定数なので、『0≦ωt≦θ’』『θ’<ωt≦2θ’』『2θ’<ωt』は、 それぞれ『0≦t≦θ’/ω』『θ’/ω<t≦2θ’/ω』『2θ’/ω<t』と表現した方が適切でした。
ANo.1の訂正です。 円の半径をr1としたので、円の露出面積におけるr^2はr1^2の誤りです。
お礼
revenge-goさん。 ありがとうございます!とても参考になりました!! またごちゃごちゃ計算してみます(笑)