扇形の面積の求め方

質問

中学を卒業して早二十年近く経ちました。
いまだに印象深い公式のひとつに「扇形の面積の求め方」があります。
というのも、扇形の面積を求める公式に関してオリジナル式を発案（というほど大したアイディアではないですけど）し、それをテストで使用してバツを喰らったからです。
先生に抗議にいったものの「オリジナルは不可」と一蹴されてしまいました。

そんなわけで、いまだに自作の式だけは覚えています。
ところが、最近本屋で立ち読みすると「扇形の面積の求め方」の式が昔と違っていました。
ちらっと立ち読みしただけなので、見違えたのかもしれません。

長くなりましたが質問です。
扇形の面積の求め方は

弧の長さ×半径×２

であっていますか。これは今でも使われているのでしょうか。

回答No.1

s_yoshi_6 · ベストアンサー

「弧の長さ×半径÷２」です。平行四辺形に変形して解くやり方ですね。
http://www.manabinoba.com/index.cfm/4,6147,73,html
三角形として考える考え方もあるようです。
http://web2.incl.ne.jp/yaoki/k15.htm

中心角が分かっていれば、半径^2×3.14×(中心角/360°)です。どちらも使われていますね。

参考URL：

http://www.manabinoba.com/index.cfm/4,6147,73,html,http://web2.incl.ne.jp/yaoki/k15.htm

お礼

ありがとうございます。

質問文で式を間違えてしまってました。
÷２ですよね。恥ずかしい。

本屋で立ち読みした公式はまさに半径^2×3.14×(中心角/360°)です。
すっきりしました。
それにしても、こちらの公式はまったく頭に残っていませんでした。二十年前も教えてましたよね？

回答No.4

ymmasayan

非常に分かりやすいですよね。
なぜ、×になったんでしょうか。

みかんを輪切りにして開いてみれば三角形の集合ということはすぐ分かりますよ。
平行四辺形にするまでもないと思うのですが、スマートさを狙っているんでしょうね。

でもこの発想のすごいところは、円周２πrの公式から面積の公式πｒ^2が
導けてしまうところでしょう。

お礼

回答ありがとうございます。

ちなみにテストでバツになったかと言いますと、学校教師のプライドゆえでしょうか。
最初、塾で習ったんだろうが学校では教えていないから駄目と言われました。
自分で考えた式だと言ったら余計に駄目と言われてしまいました。（笑）
今考えると当たり前のような気もしますが。

回答No.3

springside

この話は、高校数学で勉強する「弧度法」を使うと、すっきりと整理できます。

半径R、中心角θ（弧度法で測った角度）の扇形があって、その弧の長さをL、面積をSとすると、

L = R×θ
S = π×R^2×(θ/2π)
= (1/2)×R^2×θ

なので、

S = (1/2)×R^2×θ
= (1/2)×R×(R×θ)
= (1/2)×R×L

となって、「面積＝弧の長さ×半径÷２」となることがわかります。

お礼

その後、数学は三角関数でつまづきました。
「弧度法」はもう記憶の片隅に遠ざかっていましたが、なんとなく説明は分かった気がします。
回答ありがとうございました。

回答No.2

pyon1956

１のかたのおっしゃるように、弧の長さ×半径÷２です。
中学の数学の教科書に出ています。

お礼

ありがとうございます。

これで、オリジナル公式が今も（自分の脳内のみで）有効だと分かりました。
ずっと疑問だったので助かりました。