複素数に大小が有り得ないことを証明して下さい。

質問

標記の証明をお願い致します。

回答No.4

jcpmutura · ベストアンサー

(F,+,×,≦)に対して(1),(2),(3),(4)が成り立つ時
(F,+,×,≦)順序体という
(1)(F,+,×)は体
(2)(F,≦)は全順序
...(2.1)～(2.3)だけ成り立てば(半)順序
.(2.1)x≦x(反射律)
.(2.2)x≦y≦zならばx≦z(推移律)
.(2.3)x≦y≦xならばx=y(反対称律)
.(2.4){x,y}⊂F→(x≦y)又は(y≦x)
(3)a≦bならばa+c≦b+c
(4)0≦aかつ0≦bならば0≦a×b

C=(全複素数)
R=(全実数)
a,b,x,yを実数
w=a+i*b∈C
z=x+i*y∈C

|w|≦|z|のときw≦zと定義すると

|1|=|-1|だから
|1|≦|-1|≦|1|だけれども1≠-1だから
(反対称律)が成り立たないので
≦は順序ではない

Fの
加法単位元を0
乗法単位元を1
1<0{(1≦0)&(1≠0)}
と仮定し
両辺に-1を加えると
0≦-1
(4)から
0≦(-1)(-1)=1
となって1<0の仮定に矛盾するから
0<1
両辺に-1を加えると
-1<0

(C,+,×,≦)が順序体と仮定すると
0≦i.又は.i≦0
のどちらかが成り立つ
0≦iの時
i×i=-1<0
だから
(4)が成り立たないから
i≦0
両辺に-iを加えると
0≦-i
(-i)×(-i)=-1<0
だから
(4)が成り立たないから
は順序体にならない
∴
複素数に(正×正=正)となるような全順序(大小)関係はあり得ない

お礼

懇切ご丁寧な御回答を頂きまして誠に有難う御座いました。

回答No.3

178-tall

複素数のトリオ X = {A,B,C} にて、

　A≧B　(A-B = r1+i*m1 , r1, m1≧0)
　A≧C　(A-C = r2+i*m2 , r2, m2≧0)
　B と C には大小関係がない

なる「大小関係」を想定した場合、
X は全順序集合でないが、最大元 A を持つ。
　　　　↑
[一例] A = 3 + i4, B = 2 + i*3, C = 3 + i*2

お礼

お世話様です。

回答No.2

shintaro-2

>複素数に大小が有り得ないことを証明して下さい。

複素数の定義と
大きさの定義を明確にしてください。

複素数ｚ＝a+ibで
大きさの定義が｜Z｜であるならば
大小はあります。

お礼

お世話様です。

回答No.1

trytobe

２つの複素数の「大小」の定義がなされていないため、「大小」の判別は不可能。それだけ。

お礼

御世話様でした。