複素数

質問

u=a+bi, v=c+bi とおき　

１．u　と　vの距離が｛u-v｝（絶対値記号です）であることを証明。

２．線分uvの中間点は（u＋v）/2であることの証明。

の仕方を教えてください。

回答No.3

alice_44

１．複素数 u と v の距離　という言葉を、|u-v| の意味であると定義する。
２．複素数 u と v の中間点　という言葉を、(u+v)/2 の意味であると定義する。
…と定義するのが、素直で簡明だと思うんですがね。

「線分uvの中間点」などの表現にも見られるように、図形と結びつけて考えたい
という御希望であれば、

１．複素数 u と v の距離　という言葉を、
　　u, v が複素平面上で対応する２点間の距離　という意味に定義する。
２．複素数 u と v の中間点　という言葉を、
　　u, v が複素平面上で対応する２点を結んだ線分の中点
　　が対応する複素数　という意味に定義する。
…と定義することになるかな。随分回りくどいけれども。

その場合、u=a+bi, v=c+bi (a,b,c,d は実数) であれば、
u, v が複素平面上で対応する２点というのが (a,b), (c,d) になるから、
上記二番目の定義により…

「u と v の距離」は、 (a,b), (c,d) 間の距離で √{(a-c)^2 + (b-d)^2}。
複素数の計算で |u-v| = |(a-c)+i(b-d)| = √{(a-c)^2 + (b-d)^2}。
両者は一致している。

「u と v の中間点」は、 (a,b) と (c,d) の中点 ((a+c)/2,(b+d)/2) に
対応する複素数で (a+c)/2 + i(b+d)/2。
複素数の計算で (u+v)/2 = (a+c)/2 + i(b+d)/2。
両者は一致している。

以上の計算が「証明」だということになるんですが…
こんなことするより、上記一番目の定義を採用しとくことをお勧めします。

回答No.2

spring135

横軸に実数、縦軸に虚数をとったガウス平面上の点として、複素数u=a+bi, v=c+bi を考えたtらどうですか。

補足

そうですね、そこからどの様に説明するかがいまひとつはっきりしないのです。

回答No.1

alice_44

1. 「距離」の定義による
2. 「中間点」の定義による

どちらも、証明などあり得ません。
何を証明しようとしているのか、
そこの確認と反省が必要です。