解析力学ですが

質問

解き方が良く分からない問題があります。
解き方を教えてください。よろしくお願いします。
問題
曲線y=f(x)
（a≦x≦b）をある軸のまわりで回転させてその表面積もとめ
て、
S=2π∫y√(1＋y'^2)dx
これが最小になるよう、オイラーラグランジュで微分方程式に
する問題があるんですが、微分式にできません。どうすればいいでしょうか？

回答No.2

KENZOU · ベストアンサー

＞実はd/dx(∂L/∂y')の部分が計算できなかったのです。
むむ！確かにそうですね（笑い）。＃１の回答は一般的な処方箋で、今の問題の場合、goldringさんが立ち止まってしまった計算をまともにやるのは大変ですね。実はLの形をよく見るとL=L(y,y')でLはxをあらわに含んでいませんね（∂L/∂x=0）。このようなケースではオイラーラグランジュの方程式は次のように簡単になるのです（証明は→※）。
　y'(∂L/∂y')-L(y,y')=C（一定）　(1)
∂L/∂y'=yy'/√(1+y'^2)となりますから(1)は
∴yy'^2/√(1+y'^2)-y√(1＋y'^2)=-y/√(1+y'^2)=C　(2)
これから
　y'=±√(y^2-C^2)/C　　(3)
関数ｙは与えられた境界条件下でこの微分方程式を解けば得られます（←必要であればＴＲＹしてください。ここではやりません；笑い）。
(※)
　∂L/∂y-d/dx(∂L/∂y')=0　　(4)
両辺にy'を掛けると
　y'∂L/∂y-y'{d/dx(∂L/∂y')}=0　　(5)
これから
　y'∂L/∂y-d/dx{y'(∂L/∂y')}+y"(∂L/∂y')=0　(6)
が得られる。ところで
　dL(y,y')/dx=(∂L/∂y)y'+(∂L/∂y')y"　
∴y"(∂L/∂y')=dL(y,y')/dx-y'(∂L/∂y)　(7)
となるから(7)を(6)に入れて整理すると
　d/dx{y'(∂L/∂y')-L}=0　(8)
∴y'(∂L/∂y')-L=C（一定）

お礼

なるほど！分かりやすい回答ありがとうございます。
y'とyの関係が分かりました。これからｙを求めてみようと思います。頑張ります。分からなかったらまた投稿してしまうかもしれません（＾＾；)

回答No.3

siegmund

KENZOU さんのご回答がありますので，
蛇足の補足をちょっと違った観点から．

> 実はd/dx(∂L/∂y')の部分が計算できなかったのです。ｙがどんな形になるのか分からないので、> ｘで微分式まで具体的な形に出来ません。

まだ y は決まっていないのですから，それは当然です．
大体，y が決まっているなら，もういじりようがありません(^^;)．

考え方は以下のようなものです．
いろいろな関数 y をもってきて
(1)　　S=2π∫y√(1＋y'^2)dx
を計算してみます．
もちろん，関数が違えば S の値が違います．
ありとあらゆる y についてやってみて，S が最小になるものが知りたいわけです．
でも，関数は無数にありますから全部試すのは不可能です．

それで，関数 y を少し変えて(変分)， S が停留値を取るように，
という具合で Euler-Lagrange の微分方程式が出てきます．
このとき大事なことは， (1)を取り扱っている段階では
まだ y と y' は関係づけられてはいないということです．
y と y' に関係があれば y は事実上決まってしまいます．
したがって，ありとあらゆる y を試していることになりません．
y と y' の関係を最初は自由にしておいて，
S が停留値を取るためには y と y' が実はどんな関係にあるのか，
を調べる，というのが筋書きなのです．

それから，質問内容は解析力学というよりは，
変分原理や Euler-Lagrange の手法(解析力学でとても大事)になれるために
表面積の問題を練習しようというのでしょう．

質問の S は回転体の側面積であって，
全部の表面積は上底と下底の分を加えないといけませんね．
それとも f(a)=f(b)=0 というような条件がついている？

(1)からすると x 軸の周りに回転させているようですが，
それなら恒等的に y=0 という関数が表面積の最小値ゼロを与えるのは
ほとんど自明です．
したがって，曲線の長さが一定という条件の下，などがないと
問題として意味をなさないように思います．

お礼

鋭いアドバイスありがとうございます。
とてもためになります。

回答No.1

KENZOU

L=y√(1＋y'^2)とおくと与式は
　S=2π∫Ldx　　(1)
Sが最少になるためには次のオイラーラグランジュの方程式を満たすことが必要で、具体的な形は次のようになります。
　∂L/∂y-d/dx(∂L/∂y')=0　　(2)
(2)の左辺は、
　∂L/∂y=√(1+y'^2)
　∂L/∂y'=yy'/√(1+y'^2)
　d/dx(∂L/∂y')=・・・（←フォローしてみてください）
ということで、与えられた境界条件で微分方程式を解くことになります。
この問題は変分原理というジャンルに属するもので、変分原理とは？？で下記URLが参考になるかな。。。
（P.S）
＜注意＞には今後注意してください。

参考URL：

http://hb3.seikyou.ne.jp/home/E-Yama/HenbunMethode.PDF

補足

KENZOUさん、
回答ありがとうございます。
しかし、実はd/dx(∂L/∂y')の部分が計算できなかったのです。ｙがどんな形になるのか分からないので、ｘで微分式まで具体的な形に出来ません。
ここをどうすればよいか教えていただけないでしょうか？