比

質問

曲線y＝√xをC,点Ｐ(-a,0) (a>0)を通りＣに接する直線lとする。
l,x軸,y軸で囲まれる三角形をSとし、Ｃ，ｌ，ｙ軸で囲まれる図形をＴとする、Ｓ，Ｔをx軸の周りに１回転してできる２つの立体の体積をそれぞれV(s),V(t)とするときV(s):V(t)を最も簡単な整数の比で表すと1:1ですが。

この問題の解き方を教えてください。
(1)直線lは曲線y=√xにQ(t,√t)で接するとしてなぜ考えるのか？
(2)y'=1/(2√x)と微分をするのか？

(3)lはなぜy-√t=(1/(2√x))＊(x-t)となぜなるのか？

(4)t=aからどうしてy=【1/(2√a】x　＋√a/2になりました。
lとy軸の交点A(0,√a/2)になることがわかりません。

(5)A(0,√a/2)とすると立体Sは半径OAとする円を底辺とする高さOPの円錐なのでしょうか？

(6)円錐の面積より
V(s)=(1/3)*π【(OA)＾2】*OPの式ですが
どうしてＯＡに√a/2、ＯＰにaを代入するのでしょうか？

(7)V(t)=(1/3)*π【(ＱＲ)＾2】*ＰＲ－∫(a,0) π*【(√x)＾2】dx－V(s)
という式になるのでしょうか？

(8)図はどんな図になるのでしょうか？

回答No.3

info22 · ベストアンサー

＞(1)直線lは曲線y=√xにQ(t,√t)で接するとしてなぜ考えるのか？
接点Qが　y=√x　上にあることを取り込んで余計な条件式を増やさないためと、未知変数をできるだけ増やさないため。

＞(2)y'=1/(2√x)と微分をするのか？
接線の傾きがy'から得られるため。

＞(3)lはなぜy-√t=(1/(2√x))*(x-t)となぜなるのか？
y-√t=(1/(2√t))*(x-t) の間違いです。
接線が、接点Q(t,√t)を通り、傾き 1/(2√t) の直線だからです。

＞(4)t=aからどうしてy=【1/(2√a】x　＋√a/2になりました。
y-√t=(1/(2√t))*(x-t) が点P(-a,0)を通ることから
0-√t=(1/(2√t))*(-a-t)
2t=a+t
t=a
接点Q(a,√a)
t=aを接線の式に代入
y-√a=(1/(2√a))*(x-a)
y=(1/(2√a))*x +(√a)/2…(A)

＞lとy軸の交点A(0,√a/2)になることがわかりません。
A(0,(√a)/2)は（A)の接線ｌの式のY切片であることから明らかです。。

＞(5)A(0,√a/2)とすると立体Sは半径OAとする円を底辺とする高さOPの円錐なのでしょうか？
その通りです。

＞(6)円錐の面積より
＞V(s)=(1/3)*π【(OA)＾2】*OPの式ですが
円錐の面積でなく体積Sです。

＞どうしてＯＡに√a/2、ＯＰにaを代入するのでしょうか？
円錐の底面の円の半径が√a/2で
円錐の高さはOP間の距離aだからです。

＞(7)V(t)=(1/3)*π【(ＱＲ)＾2】*ＰＲ－∫(a,0) π*【(√x)＾2】dx－V(s)
という式になるのでしょうか？
積分の下限と上限が逆です。(a,0)でなく(0→a)です。
Rは書いてないですがQ(a,√a)からX軸に下ろした垂線の足ですね。

(8)図はどんな図になるのでしょうか？
何の図ですか？
ここでは図形はかけません。Tなら高さ2a、底面が半径√aの円の円錐の尖がった方を高さaの所で切り落とした円錐台を面積の大きい方の面を上にして放物面でくりぬいた残りの杯状の立体ですね。

補足

どうもありがとうございます。
範囲について教えてください
V(t)=(1/3)*π【(ＱＲ)＾2】*ＰＲ－∫(a,0) π*【(√x)＾2】dx－V(s)式の∫の範囲はどういｓてa,0なのでしょうか？

回答No.4

info22

＞V(t)=(1/3)*π【(ＱＲ)＾2】*ＰＲ
＞－∫(a,0) π*【(√x)＾2】dx
＞－V(s)
＞式の∫の範囲はどういｓてa,0なのでしょうか？
「どういｓて」文章が意味不明？

第１項はPR（2a）を高さとする円錐
第３項がY軸の左の部分の回転体の円錐
第１項から第３項を引いたものがY軸の右側の部分の円錐台で高さがa
です。この円錐台からy＝√xの回転でできる回転体（回転放物面体）の立体を差し引けば（くり抜けば）V(t)が出ますね。
この回転放物面体の体積は
薄い円板「π*【(√x)＾2】dx」
をx＝0からaまで加え合わせた積分∫(a,0) π*【(√x)＾2】dx
になります。
x＝0がくり抜きが一番深い部分で、xが増加して円板の半径が増しx＝aの所まで円板を加えあわせて、くり抜く放物面回転体になる分けです。
従って、積分の下限がx＝0（原点の位置）で上限がx＝a（Rの位置）に
なります。

お礼

どうもありがとうございます。
何度も解説を読み、図を描いたら段々理解できるようになりました。
ご返事遅くなりましたがどうもありがとうございました。

回答No.2

Mr_Holland

(1)　「直線lは曲線y=√xにQ(t,√t)で接する」と考えるより、曲線Cの接点を点Qとすると、その座標が(t,√t)で表されるということだと思います。

(2)　直線ｌの傾きは、曲線Cの接点Qにおける接線の傾きなので、ｙを微分してその微係数から求めます。（⇒傾きは1/(2√a)となります。）

(3)　点(x0、y0)を通る傾きｍの直線の方程式は、y-y0=m(x-x0)で表せますので、直線ｌは点Q(t,√t)を通る傾き1/(2√a)の直線ということから方程式が求められます。

(4)　直線ｌとｙ軸との交点は、直線のｙ切片で表せます。
　ｙ＝ｍｘ＋ｎの場合、ｙ切片はｎになります。（ｙ軸はｘ＝０なので、x=0を代入すれば、すぐ分かります。）

(5)　そうです。円錐になります。
　ためしに直角三角形の定規を斜辺以外の1辺を軸にして回転させてみてください。

(6)　点Aと点Pの座標を見れば、明らかです。

(7)　点Rの説明がありませんが、点Rは点Qをｘ軸に下ろした垂線の足ですか？
　だとしたら、そのような式になります。
　(線分PRを軸とする円錐の体積)－(線分ORを軸とする回転放物体の体積)－（線分POを軸とする円錐の体積）

(8)　図は描けません。そもそも何の図でしょうか？

　老婆心ながら、この問題は質問者さんにはハードルが高そうですね。まず、直線の方程式や1次関数から勉強し直したほうがよいように思います。

回答No.1

koko_u_

ひとつだけアドバイスしましょう。

このサイトを見ている人はすべからく noriko_1 さんの今見ている参考書が手元にありません。
突然「(2)y'=1/(2√x)と微分をするのか？」と書かれても文脈をとることはできません。

私見ですが、参考書の模範解答をつらつら書いても、問題を丸投げしているのと同じだと感じます。