マクローリンの定理を使った近似値計算で質問です。

質問

文系の大学１年生です。
添付させていただいた資料で、sinの計算とcosの計算で質問がございます。
（すみません、sinについて添付できませんでした。。）

まずsinの計算なのですが、
これはn=１の場合ですが、（赤で囲んだ部分）f3(0.5)=0.5－（0.5）3乗/3!　となっております。
これのどこがわからないかというと、「なぜ0.5－（0.5）3乗/3!」となるのかが
わかりません。例えばn=2だったなら、3だったならどうなるのか。。。

教えていただきたく思います。

cosも同じ部分が疑問なのですが、n=2のとき、
f4n（0.2）＝1－（0.2）2乗/2＋（0.2）4乗/4!となっています。
これも「なぜ1－（0.2）2乗/2＋（0.2）4乗/4!」なのか、
例えばn=3,4の時はどうなるのか。。。を教えていただければ幸いです。

回答No.3

info222_

f(x)=sin(x)のマクローリン展開は
f(x)=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+・・・
なので x<1のとき　x<<x^3<<x^5<<x^7 なので
３次の項で打ち切ったf(x)の近似式f3(x)は
f3(x)=x-x^3/3!= x-(1/6)x^3
となります。
f(0.5)=sin(0.5)
=0.5-(1/6)0.5^3+(1/120)0.5^5-(1/504)0.5^7+・・・
=0.5-0.0208333...+0.0002604...-0.00000155...+・・・
=0.479425538604...

f3(0.5)=0.5-(1/6)0.5^3=0.5-0.0208333...=0.479166...
となってf(0.5)と比べると、小数以下4桁目以下が一致せず、この差が近似誤差となります。
なので小数以下３桁目までの計算であれば
f(0.5)のマクローリン展開の第３項以下は無視できて、
f(0.5)=sin(0.5)はf3(0.5)で計算すれば十分
であるといえますね。
f1(0.5)=0.5 (n=1) では小数第一位の桁からf(0.5)と一致しませんのでf(0.5)の近似値としてf1(0.5)は（誤差が0.020...もある）使えません。
やはり、n=3の場合のf3(0.5)でないとだめですね。
ということでsin(0.5)≒0.5-0.5^3/3! の近似計算式が使われるのです。

次に
cos(x)のマクローリン展開は
f(x)=cos(x)=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+x^8/8!-・・・
です。
x<1のとき x^2<<x^4<<x^6<<x^8<・・・なので
f(x)のxの6乗乗以降を除いた近似式4f(x)
f4(x)は
f4(x)=cos(x)=1-x^2/2!+x^4/4!
となります。
f(0.2)=cos(0.2)
=1-0.2^2/2+0.2^4/4!-0.2^6/6!+0.2^8/8!-・・・
=1-0.02+0.000066666...-0.00000008888...+0.00000000006349...-・・・
=0.9800665778412...
一方、近似計算の場合
f2(0.2)=1-0.02=0.998 で小数以下第２桁目以降がf(0.2)=cos(0.2)と一致せず誤差がお置き大き過ぎます。
f4(0.2)=1-0.02+0.000066666...=0.980066666...で小数以下第7桁目以下が真値f(0.2)=cos(0.2)と一致しません。
以上小数以下第６桁目まで正しく計算するには f4(0.2)の近似計算式
f4(0.2)=1-0.2^2/2+0.2^4/4!
を使わないと正しい計算結果が得られません。
なので小数点以下、第３桁目まで正しく計算したいのであればf4(0.2)の近似計算式を使わないといけませんね。

お分かりになりましたでしょうか？

回答No.2

hue2011

これは大変に簡単な話です。

1項目1項目を別の意味があると考えようとするから混乱するのです。
マクローリン展開はもともと、テイラー展開からきていますよね。
テイラー展開というのは、何かの関数を級数で表してしまおうという発想です。
これを、実際に数字をいれてやってしまおうというのがマクローリン展開です。

sin(x)を、係数０ + 係数１×x + 係数２×x2乗 + 係数３×x3乗というように足し算すると考えるのがテイラー展開です。

マクローリンで数字を求めてしまいましょう。
この係数は簡単にわかります。
xが0だったら右辺は係数０だけになります。
sin(0)は0ですから係数０は0です。

両辺微分しましょう。
左辺はcos(x)になります。
右辺は、係数１ + 係数２×２x + 係数３×３x2場...
xを0にしたら、左辺は1です。
右辺は係数１だけですから、係数１は1です。

また微分しましょう。
左辺は-sin(x)になります。
右辺は、係数２×２ + 係数３×３×２×x +...
xを0にしたら、左辺は0です。
右辺は係数２だけだから係数２は0です。

おなじことを繰り返すとすれば、sinがきたときの係数はすべて0です。
だから、係数０、２、４、６、８というものは0に決まってます。
cosになったときだけ意味を持ちます。
さっきのところを微分しますと、左辺が-cos(x)となり、x=0のときー1です。右辺は係数３×３×２だけがのこりますから、
係数３＝1/(3×2)
ということになります。つまり階乗の記号を使えば
1/3!ということになります。
これを繰り返したら
sin(x)＝x-1/3!×x3乗+1/5!×x5乗+・・・
とういうことになるだけです。

ちなみに級数が収束する条件はx<1です。

回答No.1

bran111

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/9143388.html
参照。