計算を教えてください

質問

いつもお世話になっております。

(cos x/n + i sin x/n)n乗

n → ∞

(1 + ix/n)n乗

上式のｎを無限大にすると下式になるのが分かりません。
ご教授いただけましたら幸いです。

よろしくお願い致します。

回答No.3

stomachman · ベストアンサー

[1]　「AのB乗」を 「A^B」と書くことにしますと、
　　cos θ + i sin θ = e^(iθ)
従って上式は
　　(cos x/n + i sin x/n)^n = e^((ix/n)×n)= e^(ix)= cos x + i sin x
ですから、n→∞であってもそのまんま。

[2] 下式は
　　n→∞のとき、(1+x/n)^n→e^x
を使って、
　　n→∞のとき、(1+ix/n)^n→e^(ix)=cos x + i sin x
です。

　なお、「n→∞のとき、(1+x/n)^n→e^x」というのは展開してみると分かるでしょう：
　　(1+x/n)^n = 1 + (nC1)(x/n) + (nC2)((x/n)^2) + (nC3)((x/n)^3) + …+(nCn)((x/n)^n)
ここで、n→∞のときnCk/(n^k)→1/(k!) だから、
　　n→∞のとき、(1+x/n)^n → 1 + x + (x^2)/(2!) +(x^3)/(3!) + …
これは e^x のテイラー展開そのものです。

お礼

ご回答どうもありがとうございます。

計算できるようになれました。

本当にありがとうございました。

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

ちょっと気になったのですが

(cos(x/n) + i sin(x/n))^n = cos x + i sin x

です(オイラーの定理)。

n⇒∞の極限を取る意味が今いち判んないです。

お礼

ご回答ありがとうございます。

極限を取ると…の文章の読み方を間違えていたようです。

最終的に、下式になれば良いようです。

ご教授ありがとうございました。

回答No.1

spring135

lim(n → ∞)cos(x/n)=cos0=1

lim(n → ∞)sin(x/n)=x/n

お礼

ご回答ありがとうございました。

sin （ x/n） ＝ x/ n

は、極限にもっていったときの近似値ですね。
どうもありがとうございました。