√i

質問

高校生の子供からの質問で、√iなんですが、
cosθ + i・sinθ = i とおいて、θ=π/2
{cos(π/2) + i・sin(π/2) }^(1/2)=cos(π/4)+ i・sin(π/4) = √(2)/2 +i√(2)/2　としました。
しかし、子供が、2乗して、iになり数は2つあるのではないかと指摘され、
θ=5π/2 とおいて、
{cos(5π/2) + i・sin(5π/2) }^(1/2)=cos(5π/4)+ i・sin(5π/4) = -√(2)/2 -i√(2)/2　も２乗するとiになることがわかりました。この場合、どちらが正しいのでしょうか？それとも、√iは定義できないのでしょうか？

回答No.4

adinat · ベストアンサー

√iとかi^{1/2}とか書かれるのは自由ですが、これらは複数の値をとり得る多価関数とみるべきです。√iがある特定の複素数を表わしていると理解したい気持ちは分からなくもないですが、二つの複素数のうちのどちらか一つを矛盾なく選ぶ方法がないのです。一方で、√の中身は非負実数なら、正の平方根を取る、という約束のもと、ひとつの実数をうまく対応させることができます。その意味で、√iという記号の使い方が悪いのだ、と主張したのです。多価関数の概念は高校生にとって難しいかも知れません。そういうこともあって、√は中身は非負実数にしなさい、と言いました。もちろんi^iだって定義できますが、これも一般には多価関数とみなすべきで、ある特定のひとつの実数と思うには無理があります。

上にも申したとおり、√iをひとつの複素数とみれない（平方根のうちのどれかひとつをうまく決める方法がない：このことに異議があれば、偏角にでも注目して、√記号をある決まりでどちらかの複素数を決める記号とされたらよいと思います。必ず矛盾が生じます）以上、iの平方根ふたつを指す記号と思うべきです。ただ、そうするとたとえば√1=±1と思わなくてはならなくて、既存の√とどうしても整合性が取れません。

結局√の中身に非負実数がある場合と、複素数がある場合とではまったく別の記号であると理解すべきだ、と僕は思うわけです。

お礼

再回答ありがとうございます。やはり、どちらかとは、決められないのですね。納得いたしました。

回答No.7

noname#24477

高校では√i　という表現は使いません。
２乗してiになる（x^2＝i）数というぐらいでしょう。
このとき　ｘ＝±√i　です。
では二つの解のうちどちらを√iとするか。
個人的には偏角がπ/4　（－π/2＜θ＜π/2）の方を
イメージしますが、
どちらにするという決定的なものはありません。
高校では、解は２つある、だけでどうですか。

大学になると平気で√i　という表記を使ってしまう
ように思いますが、文脈でどちらを表すのか、
あるいは両方を表すのか、判断すれば良いと思います。
判断に困るなら断りを入れる。先の人の言うように
複素関数論なら多価関数としておけばいいです。

お礼

回答ありがとうございました。
関数と考えます。

回答No.6

guuman

複素関数論で
√ｚ
はｚが正の実数であろうと負の実数であろうと実数でない複素数であろうと２つの値を持つもの（実数も含む）と定義されています
ｌｏｇ（ｚ）
はさらに多くの複素数（実数も含む）を指すものと定義されています

√１は±１のことなのです
慣習上例外的に文脈から√の中が正の実数のときだけ＋のほうを取るとされているのです
これは変則的な慣習であるので負または非実数の複素数に√をつけるときには本来の定義が採用されるのです

√（－１）はｉではなく±ｉなのです

√ａのていぎはｘ＾２＝ａを満たすすべての複素数です
もちろんａが正の実数のときもです

複素数を例外的に扱っているときだけ正のものを取るということです（中学や高校）

お礼

回答ありがとうございます。
すっきりしました。

回答No.5

a987654

ご質問が良くわかりません。
特に√を絡んでの時のｉというのは特殊ないみがあり
数学的には虚数√（－１）すなわち二乗したら－１になる約束事があります。
（電気の世界では、電流と区別するためにｊがつかわれています）
ご質問中のｉとは虚数のことですか？

　次に
＞ｃｏｓθ ＋ｉ・ｓｉｎθ ＝ｉ
どのようにしてこの式が出せるのですか？
cosθもｓｉｎθも±１の範囲でしか変化しないので上式が成立するのは
ｓｉｎθ＝１という、特殊な条件に限られてしまいます。
すなわちθ＝π/2＋2Ｎπ　（但しＮは整数）
ｃｏｓθ ＋ｉ・ｓｉｎθ ＝ｉ
　　↑　　　　　　↑
　　０　＋　i・　　１　＝i
この式に何のいみがあるのでしょうか？

補足

＞ご質問中のｉとは虚数のことですか？
その通りです。
＞この式に何のいみがあるのでしょうか？
ド・モアブルの式を使えば、計算が楽だと思ったのですが、もっと楽な算出方法があるのでしょうか？

回答No.3

adinat

どちらも正解です。

ただし厳密には√iという記号はあまりよろしくないのです。なぜなら、もともと√という記号の中身には非負の実数しか持ってきてはいけなく、そして√aはaの「正」の平方根と約束したからです。平方根は二つありますが、負の方は-√aとかきました。だから根号の中身が非負でない場合は、実数にならず、したがって正負の判断ができません。そういう意味で√iという書き方は実にあいまいなのです。

僕なりの解決策を提出するならば、「√という記号は、非負の実数の場合に対して、正の平方根を与える記号」と思うべきで、「√iなどという記号はiの平方根という意味のシンボル的な意味しかない、記号の流用である」と理解されてはどうですか？

お礼

回答ありがとうございます。√iは方程式ではないので、もし、定義できるのなら、値は一つだとおもうのです。表現を変えて、i^(1/2)にしたら、どうなるのでしょうか？i^iも定義できるようですが…しつこくてすみません。

回答No.2

パんだ パンだ（@Josquin）

二乗してしまえば一緒になってしまいますが、
√(2)/2 +i√(2)/2 ＝ √i
-√(2)/2 -i√(2)/2 ＝ -√i
と思います。

お礼

回答ありがとうございます。
しかし、その場合、例えば、√(-i)だと、解が
√(2)/2 -i√(2)/2
-√(2)/2 +i√(2)/2 のどちらか決められないのではないでしょうか？

回答No.1

sunasearch

π/4＋２πｎ（ｎは整数）はすべて、ご質問の式に当てはめると、二乗するとiになります。

しかし、cos,sinに代入すると、必ず値は１つに決まり、
（1+i)/√２になります。

補足

私の説明力不足で、私の質問の意図が伝わっていないようです。すみません。