数学の展開問題を教えてください。

質問

数学の展開問題を教えてください。
X=[(1+λ)cosα―cos(θ+α)―√(λ^2―{sin(θ+α)―δ^2}^2)]
上式の右辺平方根√(λ^2―{sin(θ+α)―δ^2}^2)を展開・整理すると、
X=(1+λ)cosα―λ{1+δ^2/(2λ^2)-δ^4/(8λ^4)}+1/(4λ)*{1+(3δ^2)/(2λ^2)}+3/(64λ^3)-cos(θ+α)-1/(4λ)*{1+(3δ^2)/(4λ^2)+1/(4λ^2)}cos2(θ+α)-δ/λ*{1+δ^2/(2λ^2)+3δ/(8λ^2)}sin(θ+α)+δ/(8λ^3)*sin3(θ+α)+1/(64λ^3)*cos4(θ+α)+…
となるらしいのですが、私の力量では、どう頑張っても上式を導くことができません。
とても困っているので、おわかりの方は、途中式や解法を教えて頂けると幸いです。。

回答No.1

muturajcp

z=(sin(θ+α)-δ^2)/λ
r=1/2
a_0=1
a_n=Π_{i=0～n-1}(r-i)/(n!)
とすると
(1+z)^r=Σ_{n=0～∞}a_nz^n
(1-z)^r=Σ_{n=0～∞}a_n(-z)^n
だから
√(λ^2-{sin(θ+α)-δ^2}^2)=√(λ+(sin(θ+α)-δ^2))√(λ-(sin(θ+α)-δ^2))=λ(1+z)^r(1-z)^r
=λ(Σ_{n=0～∞}a_nz^n)(Σ_{n=0～∞}a_n(-z)^n)
=λ(Σ_{n=0～∞}(Σ_{i+j=n}a_ia_jz^i(-z)^j))