三角比の問題

質問

sinθ＋cosθ＝(√3-1)/2　90°＜θ＜180°のときsinθcosθ，（sin^3）θ＋（cos^3）θ，
〚・・以下問題省略〛の値を求めよ。

なんですが、条件式を平方して展開して解答を出す。３乗は因数分解または式変形で解くことは
いいのですが、

もし、条件式から、sinθ＋cosθ＝√3/2 -1/2 と考えて，恒等式のように，
sinθ＝√3/2　，cosθ＝-1/2　としてしまい計算しても答えは同じになります。
これでもいいのでしょうか？

回答No.3

alice_44

＞ 条件式から、sinθ + cosθ ＝ √3/2 -1/2 と考えて、

の部分の根拠をどう説明するか次第でしょうね。

＞ 恒等式のように sinθ＝√3/2, cosθ＝-1/2　

と書いたのでは、全くダメっぽい。たぶん、0 点です。
せめて、「方程式を解いて sinθ＝√3/2, cosθ＝-1/2」
とか書けませんか？

sinθ＋cosθ＝(√3-1)/2, 90°＜θ＜180° を満たす θ は、
実際１個しかなく、
その θ において sinθ＝√3/2, cosθ＝-1/2 です。
(√3/2)^2 + (-1/2)^2 = 1 であることから、そのことに
気づいてしまった…とすれば、それはそれで正しい訳で、
そう考えたことが分かるような答案にできるかどうか。

例えば…
sinθ + cosθ = (√2)sin(θ+π/4) より、
sinθ＋cosθ＝(√3-1)/2, 90°＜θ＜180° を満たす θ は
唯一であることが分かるが、
sinθ＝√3/2, cosθ＝-1/2　であれば、与式は成立する。
…と書いて、あとは sinθ, cosθ を代入しとくだけ。

ほとんど応用の効かない解法なので、拘ってもしかたないけれど。

お礼

連立　合成　ありがとうございます。

回答No.2

info22_

>もし、条件式から、sinθ＋cosθ＝√3/2 -1/2 と考えて，恒等式のように，
>sinθ＝√3/2　，cosθ＝-1/2　としてしまい計算しても答えは同じになります。
>これでもいいのでしょうか？

多少は減点される可能性があります。

なぜなら
sinθ＋cosθ＝√3/2 -1/2
を満たすsinθ,cosθは
sin^2(θ)+cos^2(θ)=1,
と連立させて解くと
sinθ=-1/2,cosθ=√3/2
または
sinθ=√3/2,cosθ=-1/2
の2通りの解が出ます。

今回はたまたま「90°＜θ＜180°」の条件があり、
0<sinθ<1, -1<cosθ<0 なので
sinθ=√3/2,cosθ=-1/2
の一方に絞られます。

なので
sinθ=√3/2,cosθ=-1/2
として解答しても正しい答えが得られます。

しかし、記述式の場合は、ちゃんとsinθ+cosθ=(√3-1)/2
(90°＜θ＜180°)を解いて
sinθ=√3/2,cosθ=-1/2
を求め代入するようにするか
「条件式を平方して展開して解答を出す。３乗は因数分解または式変形で解く」やり方をする
解答をすべきでしょう。

お礼

ありがとうございます。

回答No.1

noname#190065

ダメです。恒等式、つまりどのようなθでも成り立つ式ではないからです。

お礼

ありがとうございます。