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速度式から位置をもとめる
v(ｔ)=mg/γ(1－e^－γt/m) ｔについて積分するらしいのですがうまくできません。お願いします。
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本には v=dy/dt = -√(mg/k) * [1-e^{-2√(kg/m)t - C}] / [1+e^{-2√(kg/m)t - C}] (2.22) ここで、t=0 のときに v=0 であるから C=0 と定まる。 さらに、式(2.22)をtで積分するとyが次のように求まる。 y = -√(mg/k)t - m/k log( 1+e^2√(kg/m)t ) + C' (2.23) ・・・と書いてあります。 これを自力でやってみました。 「t=0 のときに v=0 であるから C=0 と定まる」とあるので、式(2.22)はCを消して実質 v=dy/dt = -√(mg/k) * [1-e^{-2√(kg/m)t}] / [1+e^{-2√(kg/m)t}] (2.22)' になります。これをtで積分すると、 ∫(dy/dt) dt = -√(mg/k) ∫[ [1-e^{-2√(kg/m)t}] / [1+e^{-2√(kg/m)t}] ] dt ∫dy = -√(mg/k) ∫[ [1+e^{-2√(kg/m)t} -2e^{-2√(kg/m)t}] / [1+e^{-2√(kg/m)t}] ] dt y = -√(mg/k) ∫[ 1 - [2e^{-2√(kg/m)t}] / [1+e^{-2√(kg/m)t}] ]dt y = -√(mg/k) [∫dt - 2∫[ [e^{-2√(kg/m)t}] / [1+e^{-2√(kg/m)t}] ]dt ] y = -√(mg/k)t + 2√(mg/k)∫[ [e^{-2√(kg/m)t}] / [1+e^{-2√(kg/m)t}] ]dt ここで分母を微分すると、[1+e^{-2√(kg/m)t}]' = -2√(kg/m)・e^{-2√(kg/m)t} ということで、後ろの項は、分子が-2√(kg/m)・e^{-2√(kg/m)t}であれば、積分すると晴れて log | [1+e^{-2√(kg/m)t}] |にできます。 ちょうど積分記号∫の前に+ 2√(mg/k)がありますので取り入れて y = -√(mg/k)t -∫[ [2√(mg/k)・e^{-2√(kg/m)t}] / [1+e^{-2√(kg/m)t}] ]dt y = -√(mg/k)t - log | 1+e^{-2√(kg/m)t} | + C' ・・・あれ？ 式(2.23)の m/k はどこから降ってきたのでしょうか？ どこか計算を抜かしていますでしょうか？ どうか教えてください。お願いします。
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