ニュートンリングでどうやっても計算が合いません＞＜

質問

屈折率を求める際に、２nd=λmだけを使って（｛r^2｝/Rを使わず）、tanθ＝tanθとして２つの直角三角形を使ってdを求めて２nd=λmにｎ以外の文字の数を代入して求める場合の途中式を含め教えて貰えると助かります。

ー問題ー
λ＝０.6μｍのとき、中心の暗部を０番目として、５番目の暗い輪の半径がｒ＝６ｍｍであった。レンズの球面半径Rは何ｍか。
前問でレンズと板ガラスの間を液体で満たしたら、５番目の暗い輪はｒ＝５ｍｍとなった。液体の屈折率はいくらか。ただし、レンズやガラスの屈折里率より小さいとする。

回答No.11

178-tall · ベストアンサー

> ANo.7

　をちゃんと「小数点表示」してみると…

「画像」の 2 枚目
　　||
(1) → 2nd = 5λ
(2) → tanθ = d/0.005

「画像」の 3 枚目
　　||
　tanθ = (λ/2n) / ⊿x　　(⊿x = 0.001)
　　　　= (λ/n) / 0.002
これと (2) より、
　d/0.005 = (λ/n) / 0.002
　∴　d = (0.005λ/n) / 0.002
　　　　= 5λ/(2n)
これらを (1) に代入して

「画像」の 4 枚目
　　||
　n = 5λ/(2d) = (5λ/2) / (5λ/2n) = n

… という論法になる模様。

お礼

ありがとうございます(^^♪

おかげ様様でご回答がつかない時もあって１ヶ月もかかりましたが、ようやく分かりました！

まとめると次の事ですね。

r=5となるように大きな三角形を三角比ならｘに当たる所にて取って、後は単位をmmからｍに直す。

弱め合いの間隔の性質を利用してもう一つの小さい三角形を作る。

そして、２つの三角形にてtanθで等号を取る。・・ここまでダイレクト法と呼ぶとします。

そして、光路差の式に代入しても、ダイレクト法の式がｎを含むものを作ってしまっているから、ｎについて解けず同義反復になってしまう。

という事ですね。

何回もご回答を頂けたので、とっても助かりました(*^_^*)

回答No.12

178-tall

>まとめると次の事ですね。
>r=5となるように大きな三角形を三角比ならｘに当たる所にて取って、後は単位をmmからｍに直す。
>弱め合いの間隔の性質を利用してもう一つの小さい三角形を作る。
>そして、２つの三角形にてtanθで等号を取る。・・ここまでダイレクト法と呼ぶとします。
>そして、光路差の式に代入しても、ダイレクト法の式がｎを含むものを作ってしまっているから、ｎについて解けず同義反復になってしまう。
>という事ですね。

左様。
相似な「２つの三角形にてtanθで等号を取る」・・「ダイレクト法」のみでは、同義反復になりますネ。
はじめの問いで求めた R = 12 を使って逆算しないと、答は出せません。

逆算例。
　nd = 5λ/2 = 1.5(-6)
　d = 5λ/(2n) = 1.5(-6) / n
題意の
　r = 5(-3)
とつきあわせて、
　θ≒ d/r = 3(-4) / n
R = 12 とつきあわせ、
　2θ≒ 6(-4) / n ≒ r / R = 5(-3) / 12(0)
　n = 6(-4)*12 / 5(-3) = 1.44(0)

お礼

ありがとうございます(^^♪

凄く丁寧なご回答がホント助かります。

この件は一件落着ですね！

回答No.10

178-tall

>（ー３）は１０＾（ー３）の略ですかね。

そのとおりでした。

お礼

ありがとうございます(^^♪

そうでしたか＞＜

おかげ様様でご回答がつかない時もあって１ヶ月もかかりましたが、ようやく分かりました！

まとめると次の事ですね。

r=5となるように大きな三角形を三角比ならｘに当たる所にて取って、後は単位をmmからｍに直す。

弱め合いの間隔の性質を利用してもう一つの小さい三角形を作る。

そして、２つの三角形にてtanθで等号を取る。・・ここまでダイレクト法と呼ぶとします。

そして、光路差の式に代入しても、ダイレクト法の式がｎを含むものを作ってしまっているから、ｎについて解けず同義反復になってしまう。

という事ですね。

何回もご回答を頂けたので、とっても助かりました(*^_^*)

回答No.9

178-tall

>＞(2) → tanθ = d/5(-3)　だろうから、
>ここで（ー３）が出てくるのが分かりません。
>どうやってもｎ＝⊿ｘ・ｎとなります。確かにこの式になる時点で⊿x＝１とわかりますが。この時の⊿ｘの単位はなんですか？
>後（ー３）って⊿ｘっぽいですが、なんですか？

「解答の画像」には
　tanθ = d/5　… (2)
とありすネ。
この 5 というのは r のことじゃありませんか？
だとすれば、r = 5 だと 5 m に相当します。

これは単なる単位ミスと考え訂正してみました。

お礼

ご回答ありがとうございます(^^♪

（ー３）は１０＾（ー３）の略ですかね。（ー３）が数字の－３とは思えないので、この表記法が分かりません＞＜

確かにtanθ = d/5　… (2) の５はｒですね＞＜

⊿ｘ＝（ー３）となっているのもよく分からないんですよね・・。

⊿ｘ＝ｒは明らかに、２つの三角形にて、三角比だったらｘに当たる所の長さが違う辺同士よりあり得ませんよね。

後一歩な感じがしますが、よろしくお願いしますm(__)m

回答No.8

178-tall

蛇足を追加。

>λ＝０.6μｍのとき、中心の暗部を０番目として、５番目の暗い輪の半径がｒ＝６ｍｍであった。レンズの球面半径Rは何ｍか。
　　　↑
これの解は R = 12 (m) らしい。

それを知ってこれを解くには、
　↓
>前問でレンズと板ガラスの間を液体で満たしたら、５番目の暗い輪はｒ＝５ｍｍとなった
　　↓
二つの未知数 n, d をもつ 2nd = 5λ のみで考えても不可解のはず。

この問題なら、下記の近似解で…。
　R = 12, r = 5(-3) → θ≒ r/R = 4.17(-4)
　d≒ rθ/2 = 1.04(-6)
　n = 5λ/(2d) ≒ 3(-6) / 2.08 = 1,44

お礼

ありがとうございます(^^♪

おかげ様様でご回答がつかない時もあって１ヶ月もかかりましたが、ようやく分かりました！

まとめると次の事ですね。

r=5となるように大きな三角形を三角比ならｘに当たる所にて取って、後は単位をmmからｍに直す。

弱め合いの間隔の性質を利用してもう一つの小さい三角形を作る。

そして、２つの三角形にてtanθで等号を取る。・・ここまでダイレクト法と呼ぶとします。

そして、光路差の式に代入しても、ダイレクト法の式がｎを含むものを作ってしまっているから、ｎについて解けず同義反復になってしまう。

という事ですね。

何回もご回答を頂けたので、とっても助かりました(*^_^*)

回答No.7

178-tall

>どうやったら同義反復になるんですか＞＜？

http://ameblo.jp/353276/entry-12082277057.html
　　　↓
にある「解答の画像」をなぞってみると… ？

(1) → 2nd = 5λ → d = 5λ/(2n)
(2) → tanθ = d/5(-3)
だろうから、
　tanθ = (λ/2n) / ⊿x　　(⊿x = 1 mm)
　　　　= (λ/n) / 2(-3)

　d/5(-3) = (λ/n) / 2(-3)
　d = {5(-3)λ/n} / 2(-3)
これらを (1) に代入して、
　n = 5λ/(2d) = 5λ / { 2λ*5(-3)/n) / 2(-3) } = n

　と、空回りになってしまいますが … 。

お礼

ご回答ありがとうございます(^^♪

＞(2) → tanθ = d/5(-3)
だろうから、

ここで（ー３）が出てくるのが分かりません。

どうやってもｎ＝⊿ｘ・ｎとなります。確かにこの式になる時点で⊿x＝１とわかりますが。この時の⊿ｘの単位はなんですか？

後（ー３）って⊿ｘっぽいですが、なんですか？

回答No.6

178-tall

>後１つ分からないんですが、小さい三角形の方の⊿ｘの扱いです。
>実寸法 d' = 5λ/（2n・⊿ｘ）となって、 n = 5λ/ (2d') = 5λ/｛5λ/（n・⊿ｘ)｝= nとｎ＝⊿ｘ・ｎとなってしまいます。
>どういう事なんですか＞＜？

「小さい三角形」の垂線長は (5λ/2) じゃありません。(5λ/2n) です。

「レンズと板ガラスの間を液体で満たした」ので、そこでいわゆる「波長短縮作用」を受け、実寸法が d' = 5λ/ (2n) に縮む。

あとの問題では、d' と n とが未知数。
さきの問題で得た (R = 12 m) と題意の r’= 5 mm から、まず実寸法 d' を算出し、d' = 5λ/ (2n) に代入して n を割り出す … というのが無難な解法。

お礼

ご回答ありがとうございます(^^♪

＞「小さい三角形」の垂線長は (5λ/2) じゃありません。(5λ/2n)です。

これはおかげ様でよく分かりました。

＞同義反復 (アタリマエ) の勘定になります
どうやったら同義反復になるんですか＞＜？

まず、大きい方の三角形の三角比ならｙとなる所は媒質があるから往復の半分はｎｄとなりますよね。

そして、小さい方の三角形の三角比ならｙにあたる所は(5λ/2n)じゃなくて(λ/2n)ですよね。

するとtanθで大きい方と小さい方の等式を結ぶと、

（ｄn）/5＝λ/（⊿ｘ・ｎ）∴ｄ＝５λ/［｛（2n）^2・｝・⊿ｘ］となりますよね。

するとｎ＝５λ/2dに代入しても、ｎ＝（ｎ＾２）・⊿ｘとなってしまいませんか＞＜？

後、⊿ｘが邪魔なんですが、これは⊿ｘ=1［ｍｍ］だから［ｍ］に直す（⊿ｘ＝１・１０＾｛－３｝［ｍ］）必要もありますか？

回答No.5

178-tall

>大学レベルっぽい内容は分からないんですが、なんか自分の解答の方針とは違うようですね。

ANo.1 にて言い訳したとおり、
>「寸法近似式を使わず三角関数で」… なのだろうと邪推した一案。
…に過ぎません。
まさに「誤解」だったようで…。

>自分の解答のどこどこが間違いで、どこどこは合っているなど教えていただければ助かるんですが・・。

の「解答」とは、
http://
okwave.jp/qa/q9061207.html
にある「解答の画像」のことでしょうか？

もしそうなら、そちらに書きこんだように、小さい方の三角形の「θの対辺の長さ」は λ/2 じゃなくて、λ/(2n) だと思います。(実寸法 d' = 5λ/2n )

…だとすると、「解答の画像」 2 枚目以後の勘定からは解を得られません。
( 4 枚目の勘定で、 n = 5λ/ (2d') = 5λ/(5λ/n) = n　… と、同義反復 (アタリマエ) の勘定になります)

前問で得られた (R = 12 m) と題意の r’= 5 mm から、｛r’^2｝/R = d' など、n のからまない勘定をすれば、めでたく n を割り出せます。

お礼

ご回答ありがとうございます(^^♪

おかげ様で殆ど分かりました！とても助かりました(*^_^*)

後１つ分からないんですが、小さい三角形の方の⊿ｘの扱いです。

実寸法 d' = 5λ/（2n・⊿ｘ）となって、 n = 5λ/ (2d') = 5λ/｛5λ/（n・⊿ｘ)｝= nとｎ＝⊿ｘ・ｎとなってしまいます。

どういう事なんですか＞＜？

回答No.4

178-tall

< ANo.3 の蛇足。

> 三角関数での勘定を押し通すには、(1), (2) での勘定を完遂するしかない。

倍角公式 ： tan(θ/2) → sin(θ) = 2*tan(θ/2) / { 1 + tan^2(θ/2) }

　　　↓ を利用

　u = d/r = tan(θ/2)　　… (1)’
として、
　R = r/sin(θ) = r*(1 + u^2) / (2u)　　… (1)’

にて落着 … 。

お礼

遅れてしまいました＞＜すみませんm(__)m

ありがとうございます(^^♪

大学レベルっぽい内容は分からないんですが、なんか自分の解答の方針とは違うようですね。

自分の解答のどこどこが間違いで、どこどこは合っているなど教えていただければ助かるんですが・・。

回答No.3

178-tall

< ANo.2 への蛇足。

>三角関数での勘定を押し通すには、(1), (2) での勘定を完遂するしかない。
　　↑
その算式をメモしておきます。

微小角の近似式のほうが簡潔、勘定結果はほとんど同じ … 人気無いのもごもっとも。

>「球の中心点」から「球面とガラス平面の接点」におろした垂線と、そこから r だけ離れた球面を通る半径線とのなす角度をθとすれば、
>　d/r = tan(θ/2)　　… (1)
>　R = r/sin(θ)　　… (2)

　u = d/r = tan(θ/2)　　… (1)’
として、
　R = r/sin(θ) = r*(1 - u^2) / (2u)　　… (1)’
になりそうな気配。

お礼

ありがとうございます(^^♪

おかげ様様でご回答がつかない時もあって１ヶ月もかかりましたが、ようやく分かりました！

まとめると次の事ですね。

r=5となるように大きな三角形を三角比ならｘに当たる所にて取って、後は単位をmmからｍに直す。

弱め合いの間隔の性質を利用してもう一つの小さい三角形を作る。

そして、２つの三角形にてtanθで等号を取る。・・ここまでダイレクト法と呼ぶとします。

そして、光路差の式に代入しても、ダイレクト法の式がｎを含むものを作ってしまっているから、ｎについて解けず同義反復になってしまう。

という事ですね。

何回もご回答を頂けたので、とっても助かりました(*^_^*)

回答No.2

178-tall

< ANo.1 です。

http://
okwave.jp/qa/q9061207.html

を見て、

>微小角のハナシだから、
>　d/r ≒ θ/2　　… (1)
>　R ≒ r/θ　　… (2)
>でゴマカせる。

… から以下は、要らざるコメントだと気づきました。

この「微小角」の近似を使う勘定は、「 r^2 / R 」を使う勘定と等価です。

三角関数での勘定を押し通すには、(1), (2) での勘定を完遂するしかない。
やってみると、結果は「微小角」の近似を使ったものと微妙にちがうだけです。

お礼

ありがとうございます(^^♪

おかげ様様でご回答がつかない時もあって１ヶ月もかかりましたが、ようやく分かりました！

まとめると次の事ですね。

r=5となるように大きな三角形を三角比ならｘに当たる所にて取って、後は単位をmmからｍに直す。

弱め合いの間隔の性質を利用してもう一つの小さい三角形を作る。

そして、２つの三角形にてtanθで等号を取る。・・ここまでダイレクト法と呼ぶとします。

そして、光路差の式に代入しても、ダイレクト法の式がｎを含むものを作ってしまっているから、ｎについて解けず同義反復になってしまう。

という事ですね。

何回もご回答を頂けたので、とっても助かりました(*^_^*)