弾性的変化する座標解析の名前

質問

• 弾性的変化をする平面上にＮ個の点があり、その点が応力を受けて変化すると言うより、その点が元の位置から一定量変化したと考えても良い。このような点の位置変化が、全ての点に対して個別に定義されたとき、相互に作用することになる各点の位置や、これらの点以外の平面状の位置が結果としてどうなるかを計算することはできるでしょうか。
• このような問題の解析に数学的になにか検索できるような名前があるでしょうか。
• 問題の背景は、月や惑星を市販のカメラで撮影するとき、ccdノイズや大気の揺らぎでぼやける問題があります。重ね合わせるためには位置を適応的に補正してやらねばならないが、どのような位置補正を行っているのか、可能なのか疑問です。

回答No.2

noname#221368

冒頭の物理モデルで良く使われるのは、オイラー座標とラグランジュ座標です。これらの座標は流体力学から出てきました。わかりにくいのは、オイラー座標もラグランジュ座標も、空間に固定された絶対座標を基準として参照しているという点です。

　流体力学では、流体の各点(x，y，z)での速度が、任意の時間tで全てわかれば、系は解けた事になります。そこで速度vを、v(x，y，z，t)（←3次元のベクトルです）で表します。ここで(x，y，z，t)の(x，y，z)は、空間に固定された基準としての絶対座標です。

　流体「力学」なので、運動方程式があります。運動方程式は加速度と力の関係です。そこでv(x，y，z，t)から、加速度を計算します。ある時刻tに、位置(x，y，z)にいた流体粒子は時間間隔Δtの後には（時刻(t＋Δt)には）、(x＋Δx，y＋Δy，z＋Δz)にいるという表現を使います。一個の流体粒子の速度は、

　　・Δtの間に、v(x，y，z，t)　→　v(x＋Δx，y＋Δy，z＋Δz，t＋Δt)

と変化したので、後から前の速度差をとってΔtで割り、Δt→0の極限を取れば加速度dv/dtになります。ここで多変数の微積分の知識を使うと、

　　dv/dt＝∂v/∂t＋(∇v)v　　　(1)

です。∇vは(x，y，z)に関するvのヤコビ行列です。力は圧力勾配∇Pになるので（Pは圧力）、

　　ρ(∂v/∂t＋(∇v)v)＝∇P（質量×加速度＝力）　　　(2)

が運動方程式になります。ρは流体密度ですが、(2)は、一個の流体粒子に対するものだとみなせます。以上がオイラー座標による表現です。

　話としてはわかると思うのですが、オイラー表現がわかりにくいのは、粒子の位置(x，y，z)と言いながら、それは粒子の動きを直接追跡した時に得られる位置(X，Y，Z)の、基準座標への翻訳だからです。(X，Y，Z)が普通に言う粒子の位置です。

　それなら(X，Y，Z)を使って、dv/dt＝(dX/dt，dY/dt，dZ/dt)で計算すれば良いじゃないか、という話は当然あります。それがラグランジュ表現です。この場合は(2)は素直に、

　　ρ・dv/dt＝∇P（質量×加速度＝力）　　　(3)

になります。

　ところが普通に使われるのはオイラー表現なんです。どうしてかというと、(3)はまさに流体粒子一個一個に対する運動方程式なので、実用に供するためには厳密には、流体粒子一個一個に対する無限個の(3)が必要だからです。一方(2)なら、全流体領域に対して一本の式でOKです。オイラー表現が普通優勢なのは、そういう技術上の理由です。どっちも言ってる事は同じですが。

　「弾性的変化」というのは比喩的な意味と思いますが、固体の「弾性学」においても、普通はオイラー表現を用います。この場合は運動方程式でなく、釣り合い方程式になります。

　で、ここまで長々と書いてきて申し訳ないのですが、言いたかった事は、あなたの望むような表現は確かにあるにはあるのですが、それは表現に過ぎず結局、支配方程式（運動方程式や釣り合い方程式）がなければ、どうにもならないという事です。

　問題の画像処理（とあえて言います）は、粗視化フィルターの一種では？と思いました。粗視化フィルターは、例えばPCモニターのアンチエイリアス技術として既にあります。

　コンピュータの文字は60×90ピクセル程度の画素で出来た画像です。それ以上の情報はありません。昔のコンピュータでは文字を拡大すると画素がもろ見えで、輪郭がギザギザになりましたが、今はそうなりません。ギザギザの画素集合から画素が連続的につながるような仮想の輪郭線を計算し、より高解像度であるモニターの画素集団へ、文字の輪郭をマップしてるからです。輪郭線の判定には粗視化フィルターが使われてるようです。

　もしWindows系のOSなら、スタート→アクセサリ→システムツール→外字エディターで外字エディターを開き、外字編集画面で適当に画素を塗りつぶした後、メニュー→表示→輪郭線で、塗りつぶした画素集団の連続的な輪郭線が、赤線ですぐに表示されます。

　この輪郭線は、黒白2値の濃淡の局所平均の変化を調べて、最適な連続カーブをフィットすると言う事だと思います。人間はこれと同じ事を、頭の中でやってます。なんとなく多数枚撮影の重ね合わせに似ている気がしませんか？。星なら最も明るいところを狙う訳です。これが本当なら、位置補正は統計的なものになります。

　と言う訳で支配方程式は統計理論かな？、と思います。フィルターの閾値は、最終的には人間が決めるんでしょうけど（最終的には人間が観て、見やすい必要があるから）。

　内容をよく知らないくせに知ったかぶりしますが(^^;)、ベイズ・赤池の情報量最小基準が基本にあるはずです。難しそうですが、実用的には簡単な手法になる事が多いです。じつはこの話は、測定時系列への最適カーブ・フィッティングと同じと思うからです。そうすると最新事情では、スパースモデリングも関係します（←※実用化はまだです）。

お礼

ご返事ありがとうございます。
短期間でこのような展開していただいたこと驚きですが、申し訳ないですが到底すぐには理解できそうもありません。
ただ流体密度的な考えはそうかなとも思います。仮にそうだとしても、運動方程式をそのまま解くなどは実用的でないようなきがします。
違いますがたとえばWEBLET変換などのように計算上実用範囲に入るような変換方法などが無いのか想像したりしました。
後段の粗視化フィルターはわかりますが、そのまま使ったのでは、対象画像内部に変形があった場合は、そのまま適用できないように思います。
画像内に変形があると、その変形をある程度補正できれば、重ね合わせも有効になろうと思うのです。
なにもこのような処理を自分でやろうと目論むのではなく（これを言い忘れていました）、既存のREGISTAXなどのソフトが、このような処理をしていて、その方法がなるほどと納得できるならば、そのソフトを積極的に利用する動機付けになろかと思うだけなのです。
このソフトは、画像内に多数の点を抽出し、それをもとに位置あわせを行っている様なのです。
それで想像したことは、
画像内の２点間で、画像間に差があるばあい、一方の位置を伸縮させるとともに、その周辺にもその変位を影響させ、それを画像内の多数の点で相互に影響させるような変形補正を行えば都合が良いだろうと考えました。
このような処理が実用的な範囲で可能であることが確かめられれば十分なのです。
実際はもっと泥臭い簡便な方法なのかも知れませんが。