- ベストアンサー
近似式と極限のちがい。
- みんなの回答 （3）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
近似式をどう定義するかです。たぶん何種類もあって目的に応じて使い分けられているのでしょう。加減乗除しかできないコンピューターがsinxを計算する場合多項式表示した近似式（f(x)と書くことにします。）が用いられていますがとにかく数値が所定の誤差範囲に入るように作られています。 同じ多項式でも絶対収束するようなsinxに対してはテーラー展開による式（ｇ(x)）を用いることもできます。その場合は項数を多くとればとるだけ精度が上がり正解に近づきます。無限項までやれば正解に一致するわけですがそれは無理というもの、よって誤差の許す範囲で項数を決定しています。f(x)は特定の点を除いて正解に一致することはありません。しかし所定の誤差範囲ではg(x)より計算量はずっと少なくて済むようになっています。 極限値との関係としては項数をnとすると lim(n⇒∞)f(x)=F(x) : F(x)は正解 です。ｘ⇒∞における値の近似値を与えるのが漸近展開です。漸近展開は1/xによるテーラー展開に基づいているといえるでしょう。テーラー展開と漸近展開をどこで使い分けるかということはあまり記述がないようですが、やってみると非常に面白いです。 同じテーラー展開でもsinxとlogxでは非常に挙動が違います。sinxはあきれるほど収束がよい。しかしlogxは項数をいくら増やしてもゆっくりしか改善されないという収束の悪さが目立ちます。 物理で使う (1+x)^α≒(1+αx) はテーラー展開でxの１次の項まで取ったもので、xが小さい場合は２次以上の項の効果は無視できるほど小さくて、1+αxという１次の項で近似しても誤差は小さいということです。 積分は曲線の下の面積を求める場合、短冊に切ってそれらを足し合わせることによって求めています。短冊の上の部分はx軸に並行で曲線の下の面積Sより小さいのが普通ですが短冊による分割を細かくした極限ではSに近づくということになります。このような積分の数値計算はいろんな改良がくわえられ、分割を細かくしないでも精度の上がるアルゴリズムがいろいろ開発されています。
その他の回答 (2)
- foomufoomu
- ベストアンサー率36% (1018/2761)
近似式 普通、実用式のことです。 たとえば、なにかを作る時、必要な材料の太さを30ケタ精度で求めてもあまり意味がなく、3ケタ精度ならずっと簡単な計算で済むなら、だれでも3ケタ精度の式をつかうでしょう。これが近似式です。ほんとなら５次方程式になるところを、２次でごまかしている、みたいな式です。 極限式 そのものずばりの式ではないが、限りなく正解に近くすることが可能な式です。
お礼
実用式。なるほど納得です。
- Mathmi
- ベストアンサー率46% (54/115)
詳細はNo1の方が答えて下さっているので、簡単に言えば ・近似式 変数がある値の時に、答えがどの範囲の中に存在するか、という事を求める式。 物理学では有効数字がありますし、数学でも円周率などを3.14として計算するなど「正確ではないが近しい値を用いる」という事が多々あります。その近しい値を求める時に使用するのが近似式です。 ・極限式 変数をある値に近づけていった時、答えがどんな数字に近づいていくか、という事を求める式。 近づいていく値そのものを求めるよりも、グラフの性質(連続であるか、極致であるか、等)を判別する時に使う事が多い気がします。
お礼
極限式について。 たしかに言われればそうです。 導関数を求めてグラフの増減なり、極値なり、上に最大値があるとか下に最大値があるとかやってるような気がします。
関連するQ&A
- 微分・積分
仮にＡ＝－Δｙ/Δｘという公式があったとします。これはｙの式をｘで微分して－１を全体にかけろって考えかたでよろしいのでしょうか？仮に、ｘとｙのパラメータを集めてそれをグラフ化し、エクセルで曲線のグラフを作ります。その曲線に近似曲線を当てはめて公式を作ったとします。この近似曲線の公式をｙと見立ててｘで微分して近似曲線の微分公式を作成して,個々それぞれのｘ値を代入していく方法で部分的なＡという値は求まるのでしょうか？また近似曲線のＲ＾２値は1に近ければ近いほど近似されていると考えてよろしいのでしょうか？近似曲線の次数を上げればあげるほどＲ＾２値が１に近づく場合はやはり１番高い次数の公式を使用したほうがよいのでしょうか？微分積分と聞くとなぜか接線とか加速度・速度・距離の微分積分の関係をイメージしてうんですがいまいちよく理解できていない点が多すぎて困ってます。物理では昔、微分やら積分などを使っていた記憶があるのですが、そのとき微分・積分の式（Δｙ/Δｘや∫ｆ（ｘ）ｄｘ）を色々とこねくり回して式を変形させていた記憶があります。この辺がいまいち思い出せなくて困っています。また、Ｆ＝ｍａをａ＝Ｆ/ｍとして時間ｔで積分していくとｖという速度の公式になり、それまたｖの公式を積分するとｘという距離の公式になると思っているのですが、それぞれが不定積分なのでＣなどというようなものがついてきます。それが初速度だったり、初期位置だったりというあいまいな記憶があるのですが間違っているのでしょうか？
- 締切済み
- 物理学
- この1次近似式の問題の求め方を教えてください。
(1)g(Arctanx＋logy)の(x,y)=(a,b)のまわりでの1次近似式と偏微分係数を求めなさい (2)f(cosx+Arcsiny)を(x,y)=(a,b)のまわりで1次近似しなさい (3)Arctan(f(x,y))を(x,y)=(a,b)のまわりでi次近似しなさい (4)Arcsin(g(x,y,z))を(x,y,z)=(a,b,c)のまわりで1次近似しなさい (5)f(x,y,z)の(x,y,z)=(a,b,c)のまわりでの1次近似式を書きなさい。 (6)e^(xsiny)の任意点のまわりでの1次近似式を全微分の形式で書きなさい。 (7)x^2×y^3×z^4の任意点のまわりでの1次近似式を全微分の形式で書きなさい xはエックス、×はかけるの記号です。 わからない問題や、解いてみたけど自信がない問題なんで、式と答えを教えてください。 お願いいたします。 もちろん、全部でなくわかるやつだけでも全然かまいません。 お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- Σ １ / n(n＋１）（n＋２）の極限値？
(1) ∞ １ Σ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 極限値？ ｎ＝１ n(n＋１）（ｎ＋２） . .. (2) ０．９９９・・・＝１であることを示し、０．７＋０．４５の値？ うまく数字と記号が入力できませんでしたがよろしくお願いします。 微分積分学２８講 の中の問題です
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数３の「eのh乗引く１をでｈ割った式」
eのh乗から１を引いたものをhで割った式でh→０のとき極限値「１」は、「eのx乗の関数」の微分公式から導けるのは理解することはできます。 上記のことは、教科書で見かける「e」を定義するとき、式「（１＋h）のh分の１乗」でh→０の極限値を「e」とする、という公式から導けるのでしょうか。そこんとろを説明した参考書を寡聞してしりません。 ここから導けないとしたら、なんか、「１」を導く上記の微分を利用した公式も循環論のように思えるのですが。 どう理解したものでしょうか。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 近似値を求める場合どこまで近似する？
現在、「微分法の応用」の分野で近似値を求める問題をしていますが、近似式を使ってどこまで近似するべきなのかわかりません。これは大学受験用参考書に載っている問題です。どなたかおわかりになる方がいらっしゃれば教えていただきたいと思います。宜しくお願いいたします。 問題は ｘ≒０のとき、(1+x)^(1/4)の一次の近似式をつくれ。また、その結果を用いて、(16.1)^(1/4)の近似値を求めよ、です。 (1+x)^(1/4)の一次の近似式は、(1+x)^(1/4)≒1+1/4x・・・☆ となり、これは私もできたのですが、 これを利用して(16.1)^(1/4)の近似値を求めると、 私は最後まで細かく、(16.1)^(1/4)≒2.003125と出したのですが、 解答は(16.1)^(1/4)≒2.00313となっていました。 これはおそらく私の解答2.003125を四捨五入、かまたはさらに近似したものだと思うのですが、答えが2.003125のような場合、これはさらに2.00313と近似（四捨五入）しなければいけないのでしょうか？問題文には小数点以下どこまでというような指定はありません。 数学では化学などの計算問題とは違って四捨五入したりすることがないので、近似値を求める場合どこまで近似すればよいのかわかりません。私は、☆式ですでに近似して2.003125なのに、それをまた近似して2.00313とすると近似を二度しているような感じがして不正確のような気がするのですが。 私の勉強不足なのですが質問する人がいないため、困っています。どなたかご存知の方がいらっしゃれば、教えていただきたいと思います。また説明不足の点があれば補足させていただきますので宜しくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 一次の近似式の証明
現在、「関数の近似式」を勉強していますが一次の近似式の求め方でわからないところがあります。これは大学受験用参考書に載っています。どなたかおわかりになる方がいらっしゃれば教えていただきたいと思います。宜しくお願いいたします。 説明文は 関数f ( x ) のx＝aにおける微分係数f’ ( a ) は、 f’ ( a ) ＝lim ( h→0 ) ( f ( a+h ) -f ( a ) ) /hだから、 h≒0のとき、f’ ( a ) ≒ ( f ( a+h ) -f ( a )) /h よって、f ( a+h ) をhの一次式で近似すると、 h≒0のとき、f ( a+h ) ≒f ( a ) + f’ ( a ) h という近似式が成り立つ。 とありますが、私はこの説明文の後半がわかりません。（「よって」以下です。） f’(a)の式とその次の行まではついていけるのですが、その次の「よって」以下が唐突のような気がしてよくわかりません。 私の勉強不足なのですが質問する人がいないため、困っています。どなたかご存知の方がいらっしゃれば、教えていただきたいと思います。また説明不足の点があれば補足させていただきますので宜しくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分の3次近似多項式について少し質問です＞＜
微分の3次近似多項式について少し質問です＞＜ お願いします。 2次近似式の場合の公式は f(x,y)=f(0,0)+fx(0,0)・x+fy(0,0)・y+1/2!{fxx(0,0)・x^2+2fxy(0,0)・x・ y+fyy(0,0)・y^2} になると思うので、 3次近似式多項式の場合は上の公式に 1/3!{fxxx(0,0)・x^3+3fxxy(0,0)・x^2・y+3ｆxyy(0,0)・x・y^2+fyyy(0,0)・y^3}を加えれば良いですよね？？ 少し不安だったので質問しました。間違っていたら教えてください。 ちなみに^2は二乗を、fxxなどをそれで(xで微分)したことを表します。 お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- （物理化学）記号で表された偏微分の式の計算
物理化学で圧縮率 β＝－(1/V)・(∂V/∂P)↓ＴをＴについて積分して β＝－(1/V)・(dV/dP）ということはどうゆうことなのでしょうか？ 自分は偏微分についてはあまり詳しく習っておらず、z=x^2y+xyなどと言った式の形のものなら偏微分の仕方が分かるといった程度です。物理化学などで微分方程式のようなに記号で書かれていると理解できなくて悩んでいます。
- ベストアンサー
- 化学
お礼
＞物理で使う (1+x)^α≒(1+αx) はテーラー展開でxの１次の項まで取ったもので、xが小さい場合は２次以上の項の効果は無視できるほど小さくて、1+αxという１次の項で近似しても誤差は小さいということです。＜ 実際上の式で困っていたのです。みなさんこんなのをどこで学ばれたのでしょうか。これだけでも開眼です。 ＞加減乗除しかできないコンピューターがsinxを計算する場合多項式表示した近似式（f(x)と書くことにします。）が用いられていますが＜ 言われて初めて気づいたのですが、考えてみれば、 コンピュータが人間の脳と違うことは知られていることです。だから、いろいろ計算方法を編み出しているのかと納得しました。