流体力学の連続の式の式的理解

質問

こんにちは。大学生で物理式の意味的理解に努めようと頑張っています。

そこで流体の連続の式

ラウンドρ/ラウンドt＋div(ρu)=0

の式的意味を教えてください。
ρuの意味がぱっとせず、イメージが湧きません。密度と速度の積？？

あと変微分の知識も乏しいです。
ラウンドρ/ラウンドtとdρ/dtの違いも教えていただければ幸いです。またこの違いを理解するのにどういうことを勉強すればいいのでしょうか？今までは変微分は他変数関数のときに使えばよいということを学びましたが、いまいちイメージが湧きづらいです。

よろしくお願いします。

回答No.3

noname#221368 · ベストアンサー

偏微分の話もあるので、とりあえず、流体の記述方式となりました。

(1)前提
　(a)流体力学においておよそ知りたい事は、各時刻tにおける各点(x，y，z)での流体の速度u(t，x，y，z)である。
　(b)流体の微小部分は、ニュートンの運動方程式に従う。

(2)ラグランジュ方式とオイラー方式
　(b)を正直に行えば、流体の各微小部分に対して、それを質点と考えて運動方程式を書けば良い事になります。これがラグランジュ方式で、疑問の余地のないやり方ですが、流体の全微小部分への無数の運動方程式を与える必要に迫られ、少なくとも初等的には不便です。そこで普通は、オイラー方式がとられます。
　オイラー方式では運動方程式は一本です（見た目は）。それをf＝0とでも書くとすると(a)を考慮して、fは、(t，x，y，z)をパラメータとして含む、f(t，x，y，z)＝0という式になります。ここからオイラー方式では運動方程式は自明でなくなります。(a)での流速の記述の仕方は、じつはオイラー方式と思って下さい。
　u(t，x，y，z)から加速度を求めます。du/dtをつくればいい訳です。ところがここに、ラグランジュ方式の考えが顔を出します（そっちの方が、基本的考えですから）。
　位置(x，y，z)にある流体の微小部分が、時刻tで速度u(t，x，y，z)だったとき、dt後にその微小部分は、位置(x＋dx，y＋dy，z＋dz)に移動して、速度u(t＋dt，x＋dx，y＋dy，z＋dz)を持つと考えます。u(t，x，y，z)とu(t＋dt，x＋dx，y＋dy，z＋dz)の差を、dtで割ったものが加速度です。ずれが微小として、全微分の式を適用すれば、

　　du＝∂u/∂t・dt＋∂u/∂x・dx＋∂u/∂y・dy＋∂u/∂z・dz

となり、この両辺をdtで割れば、加速度です。それで、

　　du/dt＝∂u/∂t＋∂u/∂x・dx/dt＋∂u/∂y・dy/dt＋∂u/∂z・dz/dt＝∂u/∂t＋grad(u)・u

となるわけです（最後の・はベクトルの内積）。このdu/dtの表式を、f(t，x，y，z)＝0の加速度項として使います。du/dtと∂u/∂tの違いを強調するために、du/dtをDu/Dtと書くこともあります。

(3)連続の式
　ρuの物理的意味は、言ってしまえば「質量輸送速度です」。ただしこの解釈では、ρuと単位が合いません。そこで、こんなのはどうでしょう？。
　x方向に走る菅があり、その中を「x方向だけに」流体が流れてるとします。菅の右端から流れ出す質量の輸送速度は、菅の断面積をＳをした場合、

　　ρu×Ｓ

です。単位で言うと、

　　kg／m^3×m／s×m^2＝kg／s

となって、目出度く「質量輸送速度」になります。以下、面倒なので二次元で考えます。
　右端からの流出質量速度に対して、左端には流入質量速度があります。この差が、管内の質量変化速度になるはずです。この時、菅の長さdxを微小とすれば、流出質量速度と流入質量速度の差は、

　　d(ρ・dxdy)/dt＝－∂(ρu)/∂x・dxdy

です（とりあえずd(ρ・dxdy)/dtと書いときます）。ここで、右辺のdyは断面積Ｓの役割を果たし、∂(ρu)/∂x・dxが右端と左端の質量輸送の速度差です。流れが全方向にあるとすれば、y方向だって同じだから、

　　d(ρ・dxdy)/dt＝－(∂(ρu)/∂x・dxdy＋∂(ρu)/∂y・dxdy)

と予想できます。右辺で「＋」になるのは、質量はスカラーだから、「足し算になるに決まってるじゃないか！」ってのは好い加減すぎますか？。それと今の場合、d(ρ・dxdy)/dtで、dxdyとdtは無関係なので、

　　d(ρ・dxdy)/dt＝dρ/dt・dxdy

とできます。従って、両辺をdxdyで割ると、

　　dρ/dt＋(∂(ρu)/∂x＋∂(ρu)/∂y)＝0

すなわち、

　　dρ/dt＋div(ρu)＝0

です。
　・・・としたいのは山々なのですが、dρ/dtを∂ρ/∂tに置き換える必要があります。何故なら今はオイラー方式の記述をとっているので、密度ρについても、ρ(t，x，y，z)≠ρ(t，x＋dx，y＋dy，z＋dz)だからです。よって「場所(x，y，z)は固定だよ！」という事を「宣言するために」、

　　∂ρ/∂t＋div(ρu)＝0

と書く必要があります。
　以上の議論を、積分形で行っているのが、#1さんです。精密化すれば、「ガウスの発散定理」になります。ρ(t，x，y，z)≠ρ(t，x＋dx，y＋dy，z＋dz)は、ラグランジュ方式とオイラー方式の違いを示す、格好の例だと思います。ラグランジュ方式では、そもそもρ(t，x＋dx，y＋dy，z＋dz)という記述自体があり得ません。(x，y，z)が(dx，dy，dz)ずれたという事は、時間もdtずれたという事であり、常にρ(t＋dt，x＋dx，y＋dy，z＋dz)になります（微小部分を質点と考えて、そのまま運動方程式を立てるから）。

こんなところで、どうでしょう？。

回答No.2

noname#59797

一部、訂正します。
u_n は曲面の法線方向に向かう流体の速度です。

お礼

回答ありがとうございます。

ρuの物理的意味はなんでしょうか？

それがわからないので、イメージがわきづらいです。

おそらく微笑領域からの発散がどうとか。。って意味なのでしょうけど。。

回答No.1

noname#59797

-∂ρ/∂t=div(ρu)　と書き、閉曲面の体積で積分したもの
（それは内部に含まれる流体の質量変化割合）の意味を考えると
イメージが掴めるでしょう。

つまり、
-∫∫∫(∂ρ/∂t)dV=∫∫∫div(ρu)ｄV　　　（1）
の左辺は、
-∫∫∫(∂ρ/∂t)dV=-(∂/∂t)∫∫∫ρdV
で曲面内に含まれる流体の質量が単位時間に減少する量を
示しており、右辺は曲面を通して内部の流体が単位時間に
流出する量を示しています。
ガウスの定理により
∫∫∫div(ρ・u)ｄV=∫∫(ρ・u_n)ｄS
（u_n は曲面の法線方向、dSは曲面の微分面積）　
と表わされることを考えれば明らかでしょう。

（1）の積分の被積分関数が等しいとしたものが連続の式です。