流体の運動方程式の意味と求め方
- 流体の運動方程式について解説します。式中の各項の意味や求め方について説明します。
- 流体の運動方程式は、油圧制御で配管・管路のモデル化を行なう際に使われます。具体的な式の意味や求め方を解説します。
- 論文で紹介されている式について説明します。添え字や各項の意味、求め方について解説します。運動方程式としての解釈を行います。
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以下の流体の運動方程式の意味と求め方を教えてください
油圧制御で配管・管路のモデル化を行なっていて、先生からある論文を渡されたのですが、そこに書かれている式で意味や求め方が解らない式がありました。 p1-p2=ρl/A・dq1/dt+128μl/(πd^4)・q1 上の式ですが、添え字の1と2は管路の上流と下流における値を表し、lは管路長、dは管路直径、μは粘度、ρは流体の密度、Aは管路断面積、ｐは圧力、ｑは流量です。また、dq1/dtはq1の微分です。 論文では管路系の運動方程式と書かれているだけで他の説明がありませんでした。流体や油圧の本を読んでも書かれている運動方程式とは全く違い、同じような式が見当たりませんでした。 上の式の意味と求め方(どの式から導くのか)、参考となるような文献などを教えていただけないでしょうか？
- Msaki
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右辺第２項を導くためには次のことを押えておく必要があります。 (1) 壁面が流体に与える単位面積あたりの摩擦力は速度の壁面に平行な成分をu, 壁面に垂直方向の座標をr, 粘性係数をμとすると μ∂u/∂r で与えられる。 (2) 半径aの円管内の層流のナビエストークス方程式の定常解は u(r) = G(a^2 - r^2)/(4μ) で与えられる(ポアズイユ流)。ここでGは圧力勾配、rは中心軸からの距離である。 (3) 流量q1は上の式を断面積について積分して q1 = πGa^4/(8μ) これらはいずれも流体力学の教科書に載っています。(1)と(2)(3)より単位面積あたり摩擦力は μ∂u/∂r|a = - 4μq1/(πa^3) これに壁面積2πal をかけると摩擦力の合計は 8μq1l/a^2 方程式の左辺は圧力だからこれを断面積で割ると 8μq1l/(πa^4) = 128μq1l/(πd^4) となります。
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- grothendieck
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参考程度に 非圧縮粘性流体に対して F = ma という運動方程式と思われます。両辺にAをかけると左辺A(p1-p2)は上流にかかる力から下流側にかかる力を引いたもの、すなわち物体にかかる正味の力を表わし、右辺のρl・dq1/dtはmaに相当します。右辺第二項は管壁が物体に及ぼす力でしょう。円管中のナビエ・ストークス方程式を解いて境界上の速度勾配を求め、それにμをかけると単位面積のずり応力になります。それに壁の面積をかけてみて下さい。
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お礼
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