沈降の等速運動

質問

沈降の問題なのですが、
du/dt=-{18μ/D^2p1}u+{(p1-p2)/p1}g
u:沈降速度,t:時間,p1,粒子密度,p2:流体密度,D:粒子直径,μ:粘度
の式をt=0,u=0の初期条件で解いて、求めた解から
（U-u）/U=1/e　U:終末沈降速度
となるのに要する時間τ、t=τまでに沈降する距離δを与える式を導け

という問題が解けません。
私なりに本で調べてみましたが、分かりませんでした。（もしかしたら難しく考えすぎてどつぼにはまっているのかもしれません）
大変恥ずかしいのですが、誰か教えてください。

回答No.1

gohtraw · ベストアンサー

-{18μ/D^2p1}u+{(p1-p2)/p1}g=au+b とおいて
du/dt=au+b
(1/(au+b))du=dt
これで両辺を積分してやれば
log(au+b)/a+C=t　（Cは積分定数）
t=0でu=0なので
log(b)/a+C=0
C=-log(b)/a
よってt=log(au+b)/a-log(b)/a ・・・（１）

一方(U-u)/U=1/e　より
e(U-u)=U
eu=U(e-1)
u=U(e-1)/e　・・・（２）
Uはdu/dt=0となる速度なのでaU+b=0とおくとU=-b/a

これを（２）に代入して求めたuを（１）に代入すればτを求める式になります。

また、（１）からat+log(b)=log(au+b)
au+b=e^(at+log(b))
u=(e^(at+log(b))-b)/a
なので
∫((e^(at+log(b))-b)/a)dt　（積分範囲は０から上記で求めたτ）
でδを求める式になると思います。

お礼

早々の回答ありがとうございます。おかげで助かりました。
化学というより数学ですね。もっと数学的な力を身につける必要があると感じました。