一次の近似式の証明

質問

現在、「関数の近似式」を勉強していますが一次の近似式の求め方でわからないところがあります。これは大学受験用参考書に載っています。どなたかおわかりになる方がいらっしゃれば教えていただきたいと思います。宜しくお願いいたします。

説明文は
関数f ( x ) のx＝aにおける微分係数f’ ( a ) は、
f’ ( a ) ＝lim ( h→0 ) ( f ( a+h ) -f ( a ) ) /hだから、
h≒0のとき、f’ ( a ) ≒ ( f ( a+h ) -f ( a )) /h
よって、f ( a+h ) をhの一次式で近似すると、
h≒0のとき、f ( a+h ) ≒f ( a ) + f’ ( a ) h
という近似式が成り立つ。

とありますが、私はこの説明文の後半がわかりません。（「よって」以下です。）
f’(a)の式とその次の行まではついていけるのですが、その次の「よって」以下が唐突のような気がしてよくわかりません。

私の勉強不足なのですが質問する人がいないため、困っています。どなたかご存知の方がいらっしゃれば、教えていただきたいと思います。また説明不足の点があれば補足させていただきますので宜しくお願いいたします。

回答No.3

hellotoear · ベストアンサー

f’ ( a ) ＝lim ( h→0 ) ( f ( a+h ) -f ( a ) ) /hだから、
h≒0のとき、f’ ( a ) ≒ ( f ( a+h ) -f ( a )) /h

ここまでは分かるのですよね。下の式の両辺に h をかけると

f’ ( a ) * ｈ ≒ f ( a+h ) -f ( a )

となり、 両辺に-f ( a )を足すと
f ( a ) + f’ ( a ) * h ≒ f ( a+h )

左辺と右辺の位置をかえると
f ( a+h ) ≒ f ( a ) + f’ ( a ) * h

単純な数式の変形です。これで理解できませんか。

お礼

hellotoearさま、
ただの式の変形なのですね。ありがとうございました。

回答No.2

info22

>h≒0のとき、
>f’ ( a ) ≒ ( f ( a+h ) -f ( a )) /h
上の式にhをかけてf ( a+h )を求めてください。
簡単に
>f ( a+h ) ≒f ( a ) + f’ ( a ) h
が出てきますよ。
（この式は図を描けば自明な式ですよ。）

お礼

info22さま御回答いただきありがとうございました。
ただの式の変形だったのですね。理解しました。

回答No.1

shkwta

h≠0のとき、

f’ ( a ) ≒ ( f ( a+h ) -f ( a )) /h
両辺にhをかけると、
f’ ( a ) h ≒ f ( a+h ) - f ( a )
移項して
f ( a+h ) ≒f ( a ) + f’ ( a ) h
--------------
h＝0のとき

f ( a+h ) ＝f ( a ) + f’ ( a ) h
は明らかです。

お礼

shkwtaさま、御回答いただきありがとうございました。単純な式の変形だったのですね。やはりテキストをにらんでいるだけではだめですね。反省しました。ありがとうございました。