数式 不等式

質問

０＜ｒとする。

ｒ≦ｘのとき、ｘ＾２－ｒ＾２≧０　　（１）

ｘ≦－ｒのとき、ｘ＾２－ｒ＾２≧０　（２）

上記の（１）（２）をそれぞれどうしてそうなるか、分かりやすく説明できるひとはいますか。

とくに、（２）のほうがいまいちなのです。

ｘ≦－ｒのとき

ｒ＞０より
両辺とも負数ですので、両辺をいきなり２乗して不等号の向きを変えてしまっていいのか。

なんか注意する点とか落とし穴がないのか。考えています。

わかる方、宜しくお願いします。

回答No.4

jcpmutura · ベストアンサー

(1)が分かれば
(2)は(1)でxを-xで置き換えたものと同じです

0<r
とする

r≦x
のとき
これと0<rから
0<r≦x
0<x
これに0<rを加えると
0<x+r
r≦xの両辺からrを引くと
0≦x-r
これに0<x+rをかけると
0≦(x+r)(x-r)=x^2-r^2
∴
0<r≦xのとき,x^2-r^2≧0…(1)

x≦-rのとき
両辺にr-xを加えると
r≦-x
これと0<rから
0<r≦-x
これは(1)の仮定でxを-xで置き換えたもの
だから
∴
0<r≦-xのとき,(-x)^2-r^2=x^2-r^2≧0…(2)

お礼

ありがとうございます。

図形でなく数式の計算で納得する方法を考えていました。

ｘをーｘで置き換えることができると思います。

このやり方は証明問題でよく見かけます。

見かけていて意外に使いこなせないもんだと思いました。

回答No.3

Mathmi

別解でも

x^2-r^2=(x+r)(x-r)

x<=-rより
x+r<=0
x-r<=-2r<0

以上より、(x+r)(x-r)は共に負の数であり、負の数同士の積は正の数であるので
x^2-r^2>=0

お礼

ありがとうございます。

意外にも、こういうのは普段からやっていないと出てこないもんだと思います。

回答No.2

atkh404185

例えば、
y=x^2 のグラフで、考えればよいと思います。

(ア)　a>0, b>0 のとき、
　　 a<b　⇔　a^2<b^2

(イ)　c<0 ,d<0 のとき、
　　 c<d　⇔　c^2>d^2

が、成り立つことがわかると思います。

(1) は、
r≦x のとき、r>0 より、r、x とも、正だから、(ア)より、
r^2≦x^2
よって、
x^2-r^2≧0

(2) は、
x≦-r のとき、r>0 より、-r、x とも、負だから、(イ)より、
x^2≧(-r)^2
x^2≧r^2
よって、
x^2-r^2≧0
になります。

y=x^2-r^2 (r>0) のグラフで、考えてもよいと思います。
このグラフは、x 軸と、2 点で交わる下に凸の放物線です。
x 軸との交点の x 座標の値は、r と -r です。
x≧r のとき、グラフは、x 軸から上にあるから、
y≧0　すなわち、x^2-r^2≧0　になります。
また、
x≦-r のとき、グラフは、ｘ 軸から下にあるから、
y≦0　すなわち、x^2-r^2≦0　になります。

お礼

＞
y=x^2 のグラフで、考えればよいと思います。

(イ)　c<0 ,d<0 のとき、
　　 c<d　⇔　c^2>d^2

が、成り立つことがわかると思います。

(2) は、
x≦-r のとき、r>0 より、-r、x とも、負だから、(イ)より、
x^2≧(-r)^2
x^2≧r^2
よって、
x^2-r^2≧0
になります。

＜

これだとすごく分かりやすいとおもいます。

どうもありがとうございます。

回答No.1

bran111

y=ｘ＾２－ｒ＾２

のグラフを書けば一目瞭然。

お礼

ありがとうございます。

どちらかといえば、というかどちらでもわかっていれば同じなのですが、

ｙ＝ｘ＾２のグラフのほうがミスなんかをしにくいと思います。