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勾配とシュワルツの不等式
写真の命題の証明 (D_uf)(x) = (grad f(x))|u)とシュワルツの不等式により (D_uf)(x) = (grad f(x))|u) ≦ |grad f(x)|・|u| = |grad f(x)| 等号が成立するのは, grad f(x)=cu (c≧0)となるとき, すなわちgrad f(x)がuと同じ向きになるときに限る. とあったのですが、 (grad f(x))|u)=||grad f(x)||・||u|| ⇔grad f(x)とuが線型従属になる ⇔r・grad f(x)=u, またはgrad f(x)=ruとなる実数rが存在する より 「等号が成立するのは, grad f(x)=cu (c≧0)となるとき, すなわちgrad f(x)がuと同じ向きになるときに限る」 ではなく 「等号が成立するのは, c・grad f(x)=u, またはgrad f(x)=cuとなる実数cが存在するときに限る」 ではないでしょうか？
- shoichi_0313
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- jcpmutura
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(grad f(x)|u)=||grad f(x)||・||u|| →grad f(x)とuが線型従属になる は成り立つけれど grad f(x)とuが線型従属になるからといって (grad f(x)|u)=||grad f(x)||・||u|| となるとは限りません 例えば grad f(x)=-u≠0 とすると grad f(x)とuが線型従属だけれども (grad f(x)|u)=(-u|u)=-||u||^2≠||u||^2=||grad f(x)||・||u|| (grad f(x)|u)≠||grad f(x)||・||u|| 左辺は負,右辺は正で 等号は成立しません
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お礼
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