シュワルツの不等式

質問

現在、「シュワルツの不等式」を勉強していますがわからない問題があります。これは大学受験用参考書に載っている問題です。どなたかおわかりになる方がいらっしゃれば教えていただきたいと思います。宜しくお願いいたします。

問題は
f(x)、ｇ(x)はともに区間a≦x≦bで定義された連続関数とする。このとき、ｔを任意の実数とし、∫（a→ｂ）｛f(x)+tｇ(x)｝^2dxを考えることにより、次の不等式を証明せよ。

｛∫（a→b）f(x)ｇ(x)dx｝^2≦∫（a→b）｛f(x)｝^2dx∫（a→b）｛ｇ(x)｝^2dx
また、どのようなときに統合が成立するか述べよ。です。

全くわからなくて、解答をみたのですが、解答をみても納得いかないところがあります。

解答は、
任意のｔについて、｛f(x)+tｇ(x)｝^2≧０から、∫（a→ｂ）｛f(x)+tｇ(x)｝^2dx≧０
ｔ^2∫（a→b）｛ｇ(x)｝^2dx+2ｔ｛∫（a→b）f(x)ｇ(x)dx｝+∫（a→b）｛f(x)｝^2dx≧０
ⅰ）∫（a→b）｛ｇ(x)｝^2dx＝０のとき、a≦x≦bでつねにｇ(x)＝０
・・・
ⅱ）　∫（a→b）｛ｇ(x)｝^2dx＞０のとき・・・

とあります。
ⅰのときのところで質問です。
∫（a→b）｛ｇ(x)｝^2dx＝０のとき、a≦x≦bでつねにｇ(x)＝０とは必ずしもそういえますか？
たとえば、ｇ(x)がaとbの中間で点対称のグラフでも、
∫（a→b）｛ｇ(x)｝^2dx＝０
となると思います。必ずしもｇ(x)＝０とは言えないと思いますが・・・。

解答を読んでもよくわかりません。
この解答の意図するところもよくわかりません。（途中までしか書いてませんが。）
私の勉強不足なのですが質問する人がいないため、困っています。どなたかご存知の方がいらっしゃれば、教えていただきたいと思います。また説明不足の点があれば補足させていただきますので宜しくお願いいたします。

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

簡単な例を上げて見ましょう。

∫[a→b]x^2dx

の値が0となるように、実数a,b(a<b)をとれますか？

＞たとえば、ｇ(x)がaとbの中間で点対称のグラフでも、
∫（a→b）｛ｇ(x)｝^2dx＝０
上の例で言えば、a=-1,b=1の場合を想定しているのでしょうか？
∫[-1→1]x^2dx=2/3です。0にはなりません。

＞ⅰ）∫（a→b）｛ｇ(x)｝^2dx＝０のとき、a≦x≦bでつねにｇ(x)＝０
となることは、y={g(x)}^2のグラフを考えてみれば分かると納得できるとおもいます。
gは実数値関数なので、{g(x)}^2≧0です。

∫[a→b]{g(x)}^2dx
ってのは、x=a,x=b,x軸,y={g(x)}^2で囲まれる図形の面積です。(y={g(x)}^2はx軸より下側にはこない)
これが0になるのは、{g(x)}^2=0がa≦x≦bで成り立たないといけません。つまり、
＞a≦x≦bでつねにｇ(x)＝０
ということです。

お礼

eatern27さま、ありがとうございます。

そうですね。x^2は常にｘ軸より上にありますから、どの範囲を積分しても常に０以上になってしまいますから、積分が０になるということはｇ(x)＝０といえますね。

私は、x^2とg(x)^2を同様に考えることができませんでした。つまりg(x)^2がたとえ０にならなくても、それをa→bまで積分することによって０になると。

ですが、今実際にやってみるとそうなりました。ありがとうございました。

回答No.5

rabbit_cat

g(x)が連続というのが重要ですね。
といっても高校範囲では、連続でない関数の積分はやらないかな。

まあ、分かった気になってればいいです。本当の証明は、大学に入ればすぐにやることになります。

お礼

rabbit_catさま、ありがとうございました。

回答No.4

mickel131

∫（a→b）｛ｇ(x)｝^2dx＝０のとき、a≦x≦bでつねにｇ(x)＝０とは必ずしもそういえますか？
--------------------------------------
言えます。
｛ｇ(x)｝^2　で「２乗」という部分が、ポイントです。
高校で取り扱う積分される関数の値は、実数です。
実数を２乗すると０以上になるでしょう。

｛ｇ(x)｝^2　≧　0
ですから、
今この時点では、｛ｇ(x)｝^2　の最小値は０
ですね。

ところが、この関数を a ≦ x ≦ b の範囲で積分します。０以上の値をとる関数を積分すると、その積分値は０以上になります。
∫[a～b]｛ｇ(x)｝^2　dx ≧　0

もし、a ≦ x ≦ b　の範囲の x で　ｇ(x)　が０でない値があったら、どうなるでしょうか。

そういう値が、a 以上　b 以下の範囲にあるとします。
それを c としましょう。
つまり、a ≦ c ≦ b 　かつ　ｇ(c)は0でない。
ｇ(c)＜0　の場合も、ｇ(c)＞0　の場合も、
｛ｇ(c)｝^2　＞　0
です。
すると、∫[a～b]｛ｇ(x)｝^2 dx
は正になってしまいます。0より大きくなってしまいます。つまり、　
∫[a～b]｛ｇ(x)｝^2 dx　＝０
にはならないのです。

ということは、・・・
この矛盾が起きたのは、さっきの仮定が間違っていたからで、・・・

a ≦ x ≦ b　の範囲の x で　ｇ(x)　が０でない値はない。
つまり、a ≦ x ≦ b　のときは、つねに、
ｇ(x)　は０に等しい。

お礼

mickel131さま、ご丁寧な御回答に感謝いたします。

そうですね。二乗すると、すべてｘ軸よりグラフは上にくるので、どの範囲でも、積分するとプラスになってしあいますね。ご丁寧な御回答ありがとうございました。

回答No.3

okkunokkun

質問を勘違いしていたらごめんなさい。{は∫の中ですよね？

^2　が重要で、　g(x) が　少しでも0でない数値、負でも正でも　{g(x)}^2 は正の数になります。

aからbの間、どの部分でも、 g(x)　が0以外だと　{g(x)}^2 > 0　は理解できますでしょうか？

Σの計算でもよく出てきます。
Σ{f(x)^2}=0 の時、f(x)=0 となります。

お礼

okkunokkunさま、御回答ありがとうございました。
実際にやってみるとわかりました。どうも、xの^2といわれるとわかるのですが、g(x)^2といわれると、具体的でないので、わかりにくかったです。

回答No.2

yoikagari

勘違いがあるようですね。

＞たとえば、ｇ(x)がaとbの中間で点対称のグラフでも、
＞∫（a→b）｛ｇ(x)｝^2dx＝０

それは∫（a→b）ｇ(x)dx＝０となりうるということです。

問題では∫（a→b）｛ｇ(x)｝^2dxですから、この時点で全く別の問題を考えていたことになります。

お礼

yoikagariさま、ありがとうございます。
x^2といわれるとわかったのですが、g(x)^2といわれたので、うん？と思ってしまいました。ありがとうございました。