- ベストアンサー
シュワルツの不等式
現在、「シュワルツの不等式」を勉強していますがわからない問題があります。これは大学受験用参考書に載っている問題です。どなたかおわかりになる方がいらっしゃれば教えていただきたいと思います。宜しくお願いいたします。 問題は f(x)、ｇ(x)はともに区間a≦x≦bで定義された連続関数とする。このとき、ｔを任意の実数とし、∫（a→ｂ）｛f(x)+tｇ(x)｝^2dxを考えることにより、次の不等式を証明せよ。 ｛∫（a→b）f(x)ｇ(x)dx｝^2≦∫（a→b）｛f(x)｝^2dx∫（a→b）｛ｇ(x)｝^2dx また、どのようなときに統合が成立するか述べよ。です。 全くわからなくて、解答をみたのですが、解答をみても納得いかないところがあります。 解答は、 任意のｔについて、｛f(x)+tｇ(x)｝^2≧０から、∫（a→ｂ）｛f(x)+tｇ(x)｝^2dx≧０ ｔ^2∫（a→b）｛ｇ(x)｝^2dx+2ｔ｛∫（a→b）f(x)ｇ(x)dx｝+∫（a→b）｛f(x)｝^2dx≧０ ⅰ）∫（a→b）｛ｇ(x)｝^2dx＝０のとき、a≦x≦bでつねにｇ(x)＝０ ・・・ ⅱ） ∫（a→b）｛ｇ(x)｝^2dx＞０のとき・・・ とあります。 ⅰのときのところで質問です。 ∫（a→b）｛ｇ(x)｝^2dx＝０のとき、a≦x≦bでつねにｇ(x)＝０とは必ずしもそういえますか？ たとえば、ｇ(x)がaとbの中間で点対称のグラフでも、 ∫（a→b）｛ｇ(x)｝^2dx＝０ となると思います。必ずしもｇ(x)＝０とは言えないと思いますが・・・。 解答を読んでもよくわかりません。 この解答の意図するところもよくわかりません。（途中までしか書いてませんが。） 私の勉強不足なのですが質問する人がいないため、困っています。どなたかご存知の方がいらっしゃれば、教えていただきたいと思います。また説明不足の点があれば補足させていただきますので宜しくお願いいたします。
- goodo
- お礼率84% (1270/1500)
- 数学・算数
- 回答数5
- ありがとう数5
- みんなの回答 （5）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
簡単な例を上げて見ましょう。 ∫[a→b]x^2dx の値が0となるように、実数a,b(a<b)をとれますか？ ＞たとえば、ｇ(x)がaとbの中間で点対称のグラフでも、 ∫（a→b）｛ｇ(x)｝^2dx＝０ 上の例で言えば、a=-1,b=1の場合を想定しているのでしょうか？ ∫[-1→1]x^2dx=2/3です。0にはなりません。 ＞ⅰ）∫（a→b）｛ｇ(x)｝^2dx＝０のとき、a≦x≦bでつねにｇ(x)＝０ となることは、y={g(x)}^2のグラフを考えてみれば分かると納得できるとおもいます。 gは実数値関数なので、{g(x)}^2≧0です。 ∫[a→b]{g(x)}^2dx ってのは、x=a,x=b,x軸,y={g(x)}^2で囲まれる図形の面積です。(y={g(x)}^2はx軸より下側にはこない) これが0になるのは、{g(x)}^2=0がa≦x≦bで成り立たないといけません。つまり、 ＞a≦x≦bでつねにｇ(x)＝０ ということです。
その他の回答 (4)
- rabbit_cat
- ベストアンサー率40% (829/2062)
g(x)が連続というのが重要ですね。 といっても高校範囲では、連続でない関数の積分はやらないかな。 まあ、分かった気になってればいいです。本当の証明は、大学に入ればすぐにやることになります。
お礼
rabbit_catさま、ありがとうございました。
- mickel131
- ベストアンサー率36% (36/98)
∫（a→b）｛ｇ(x)｝^2dx＝０のとき、a≦x≦bでつねにｇ(x)＝０とは必ずしもそういえますか？ -------------------------------------- 言えます。 ｛ｇ(x)｝^2 で「２乗」という部分が、ポイントです。 高校で取り扱う積分される関数の値は、実数です。 実数を２乗すると０以上になるでしょう。 ｛ｇ(x)｝^2 ≧ 0 ですから、 今この時点では、｛ｇ(x)｝^2 の最小値は０ ですね。 ところが、この関数を a ≦ x ≦ b の範囲で積分します。０以上の値をとる関数を積分すると、その積分値は０以上になります。 ∫[a～b]｛ｇ(x)｝^2 dx ≧ 0 もし、a ≦ x ≦ b の範囲の x で ｇ(x) が０でない値があったら、どうなるでしょうか。 そういう値が、a 以上 b 以下の範囲にあるとします。 それを c としましょう。 つまり、a ≦ c ≦ b かつ ｇ(c)は0でない。 ｇ(c)＜0 の場合も、ｇ(c)＞0 の場合も、 ｛ｇ(c)｝^2 ＞ 0 です。 すると、∫[a～b]｛ｇ(x)｝^2 dx は正になってしまいます。0より大きくなってしまいます。つまり、 ∫[a～b]｛ｇ(x)｝^2 dx ＝０ にはならないのです。 ということは、・・・ この矛盾が起きたのは、さっきの仮定が間違っていたからで、・・・ a ≦ x ≦ b の範囲の x で ｇ(x) が０でない値はない。 つまり、a ≦ x ≦ b のときは、つねに、 ｇ(x) は０に等しい。
お礼
mickel131さま、ご丁寧な御回答に感謝いたします。 そうですね。二乗すると、すべてｘ軸よりグラフは上にくるので、どの範囲でも、積分するとプラスになってしあいますね。ご丁寧な御回答ありがとうございました。
- okkunokkun
- ベストアンサー率31% (14/45)
質問を勘違いしていたらごめんなさい。{は∫の中ですよね？ ^2 が重要で、 g(x) が 少しでも0でない数値、負でも正でも {g(x)}^2 は正の数になります。 aからbの間、どの部分でも、 g(x) が0以外だと {g(x)}^2 > 0 は理解できますでしょうか？ Σの計算でもよく出てきます。 Σ{f(x)^2}=0 の時、f(x)=0 となります。
お礼
okkunokkunさま、御回答ありがとうございました。 実際にやってみるとわかりました。どうも、xの^2といわれるとわかるのですが、g(x)^2といわれると、具体的でないので、わかりにくかったです。
- yoikagari
- ベストアンサー率50% (87/171)
勘違いがあるようですね。 ＞たとえば、ｇ(x)がaとbの中間で点対称のグラフでも、 ＞∫（a→b）｛ｇ(x)｝^2dx＝０ それは∫（a→b）ｇ(x)dx＝０となりうるということです。 問題では∫（a→b）｛ｇ(x)｝^2dxですから、この時点で全く別の問題を考えていたことになります。
お礼
yoikagariさま、ありがとうございます。 x^2といわれるとわかったのですが、g(x)^2といわれたので、うん？と思ってしまいました。ありがとうございました。
関連するQ&A
- シュワルツの不等式？
{∫(x+a)(x+b)dx}^2≦{∫(x+a)^2dx}{∫(x+b)^2dx}を示せ。 （↑積分区間は０から１です↑） という問題で、回答では {∫(x+a)^2dx}＝A {∫(x+a)(x+b)dx}^2＝B {∫(x+b)^2dx}＝C とおき、 tを任意の実数とすると {t(x+a)+(x+b)}^2≧0であるから ∫{t(x+a)+(x+b)}^2dx=・・・＝At^2+2Bt+C≧0 （↑積分区間は0から1です↑） で、 At^2+2Bt+C＝0の判別式をDとすると D/4 = B^2-AC≦0 ゆえに {∫(x+a)(x+b)dx}^2≦{∫(x+a)^2dx}{∫(x+b)^2dx} とあるのですが、 『tを任意の実数とすると {t(x+a)+(x+b)}^2≧0であるから』 どうしてこう置いたのか、よくわかりません。 すいませんが、教えて頂けたらうれしいです。
- 締切済み
- 数学・算数
- 文系数学について、コーシ・シュワルツの不等式
{∫(x+a)(x+b)ｄｘ}2≦{∫(x+a)2dx}{∫(x+b)2dx} ※∫は１から０までの定積分、「２」は２乗とする。 上式を計算による方法ではなく、コーシ・シュワルツの不等式を用いて証明したいのですが、理解できません。 現在学校行っていないので質問できる先生いません助けてください。 ※コーシ・シュワルツの不等式 (ax+by)2≦(a2+b2)(x2+y2) ※東大、京大、一橋、東工大、医学部、早稲田、慶應
- ベストアンサー
- 数学・算数
- コーシー・シュワルツの不等式の証明について
コーシー・シュワルツの不等式の証明について 二次不等式を使った証明なのですが、場合分けをする理由がよくわかりません。 どなたかご教示お願いします。 問．tがどんな実数値を取っても常に（at-x)^2+(bt-y)^2≥0であることを用いて、次の不等式を証明せよ。 （a^2+b^2)(x^2+y^2)≥(ax+by)^2 これを証明するには、 （at-x)^2+(bt-y)^2≥0の左辺をtについて整理して (a^2＋b^2)t^2-2(ax+by)t+x^2+y^2≥0 したがってtの2時不等式が得られるので、（左辺）≥0となる条件から D/4＝（ax+by）^2-(a^2+b^2)(x^2+y^2)≤0 移行して (a^2+b^2)(x^2+y^2)≥(ax+by)^2 と、ここまでは導けたのですが、解答では （i）a^2+b^≠0 すなわち a^2+b^2>0のとき （ii）a^2+b^2=0 すなわち a=b=0のとき と場合分けをして、どちらも成り立つことを証明しています。 この二次不等式が0以上であるためには判別式D≦0とともにa^2+b^2>0（下に凸）という条件が入ってくるのだと思いますが、それならば（ii）はいらないのではないでしょうか。2つの場合が成り立たなければならない理由はなんでしょうか。 よろしくお願いいたします。
- 締切済み
- 数学・算数
- コーシーシュワルツの不等式
文字は全て実数 √(a^2+b^2+c^2)*√(x^2+y^2+z^2)≧|ax+by+cz| を利用して 10(2a^2+3b^2+5c^2)≧(2a+3b+5c)^2 を証明せよ。という問題です。 調べてみると上記のシュワルツの不等式を利用するようなのですが うまい変形が思いつきませんでした。 ご教授お願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- シュワルツの不等式で等号の成立条件の証明論理を教えて下さい
恥ずかしいのですが、 シュワルツの不等式で等号の成立条件の証明論理を理解していないことに、唐突に、気が付きました。 いくつかのサイトや教科書を見ましたがとてもさりげないです。丁寧な高木貞治先生の本でもさらりとかわされているような。 長くなりました。いろいろ考えた結果、 S(t)=||tf-g||^2=At^2-2Bt+C≧0 とおいて判別式が０ならばa,bを定数として S(t)=(at-b)^2のように書ける。するとあるt=t0（=b/a）が１つ存在して S(t0)=0となる。 すなわち、S(t0)=||t0・f-g||^2=0となる。ノルムまたは内積の性質から t0・f-g=0となり、fとgは比例する（逆は明白）。 以上のような論理が必要に思いましたが、どうでしょうか？考えすぎでしょうか？ ご意見下さい。m(_ _)m（なお、A=0,a=0とかの細かいことは省略）
- 締切済み
- 数学・算数
- コーシー・シュワルツの不等式の使い方で分からない点があるのでお尋ねしま
コーシー・シュワルツの不等式の使い方で分からない点があるのでお尋ねします。 「0以上の実数s,tが s^2 + t^2 =1を満たしながら動くとき、 x=(√s ± √t)^2 のとる値の範囲を求めよ」という問題があったとします。 解法として コーシー・シュワルツの不等式を使って、(√s + √t)^2＝(1・√s + 1・√t)^2 ≦ (1^2 + 1^2)( s + t )＝２( s + t ) 再度コーシー・シュワルツの不等式より、 ( s + t )^2≦(1^2 + 1^2)(s^2 + t^2)＝２ （ s^2 + t^2=１より） ? ( s + t )≦√２ 従って、(√s + √t)^2 の最大値は２√２．最小値は(解き方省略で)１ 次に、(√s - √t)^2 の最大値は、０≦ s,t ≦１より、ｓ＝１,ｔ＝０またはｓ＝０,ｔ＝１のときで１． 最小値は s＝t＝1/√2 のときで０(細かいことは省略) ここで疑問なのですが、(√s - √t)^2 に、(全ての実数で成立する)コーシー・シュワルツの不等式を適用して、 (√s - √t)^2＝{1・√s +(-1)・√t}^2 ≦{1^2 + (-1)^2}( s + t )＝２( s + t ) としても 最大値を導けないのは何故なんでしょう？ つまらない質問で恐縮ですが、ご教授をよろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- コーシーシュワルツの不等式の問題
a＞0、b＞0、c＞0、d＞0のとき (1/a)+(1/b)+(4/c)+(4/d)≧36/(a+b+c+d)が成り立つことを証明せよ コーシーシュワルツの不等式を使うのですがどうやるのでしょうか？教えてください
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
eatern27さま、ありがとうございます。 そうですね。x^2は常にｘ軸より上にありますから、どの範囲を積分しても常に０以上になってしまいますから、積分が０になるということはｇ(x)＝０といえますね。 私は、x^2とg(x)^2を同様に考えることができませんでした。つまりg(x)^2がたとえ０にならなくても、それをa→bまで積分することによって０になると。 ですが、今実際にやってみるとそうなりました。ありがとうございました。