不等式の問題です。

質問

某大学の入試問題をふと解いてみたのですが、
解答を読んでも理解ができません。

解けないのは解けないで歯がゆくて…。

任意の実数a、b、cに対し次の不等式が成り立つような実数kの最小値を求めよ。

√(a^2＋b^2＋c^2)≦k(|a|＋|b|＋|c|)

答えは１らしいのですが、どうもそこにいきつきません。
絶対値がついていなければコーシー・シュワルツで解決できそうなんですがね…。

そもそもこれを1A2Bの範囲で解けるのでしょうか？

よろしくお願いいたします。

回答No.2

mister_moonlight · ベストアンサー

|a|＝x、|b|＝y、|c|＝zとすると、x≧0、y≧0、z≧0　‥‥(1)
両辺が非負から2乗すると、x＾2＋y＾2＋z＾2≧（k）＾2*（x＋y＋z）＾2　‥‥(2)　であるから、これが常に成立する非負の実数kの最小値を求めると良い。

ここからは幾つか方法が考えられるが、最短の道を選ぶと。。。。

(1)から　x＾2＋y＾2＋z＾2≦（x＋y＋z）＾2　‥‥(3)　が成立するから、(2)と(3)より　x＾2＋y＾2＋z＾2≦（x＋y＋z）＾2≦（k）＾2*（x＋y＋z）＾2　で、k≧0から、k≧1.　等号成立は？

＞絶対値がついていなければコーシー・シュワルツで解決できそうなんですがね…。

|a|＝x、|b|＝y、|c|＝zとすると、絶対値ははずせるが、さて、シュワルツが使えるかな？

回答No.1

nag0720

k<1 の場合は不等式が成立しない(a=b=0を考えれば明らか)ので、
√(a^2＋b^2＋c^2)≦|a|＋|b|＋|c|
が成立すればk=1が最小になります。
これは、両辺を自乗すれば簡単に証明できます。

補足

ご回答ありがとうございます。

たしかに k<1のとき明らかに成り立ちませんが、
そこにたどり着くまでの思考回路はどのようなな感じなのでしょうか？