この問題の解き方

質問

解説が載っていなかったのでどなたかご教授ください。<m(__)m>

(1)
実数a,bが次の式を満たしているとき、(a+b)^2の値を求めよ。
(√2)^1/a=100 　　　(√5)^1/b=100

答え:1/16

(2)
x≦-1のとき、次の不等式が成り立つような定数kの値の範囲を求めよ。
2x^3-3x^2-12x+k<0

答え：k<-7

(2)はただ単に-1を代入したら出たんですがこんな簡単なことでよいんでしょうか・・・

偏差値的には低い大学入試の問題です。
よろしくお願いします。

回答No.3

tascany · ベストアンサー

１）指数法則だけで解くことができます。
各式それぞれa乗、b乗すると、
√2=100^a、√5=100^b。
ここで、√2*√5=100^a*100^b を計算する。
（左辺）=√10
（右辺）=100^(a+b)。
両辺二乗して、
10=100^2*(a+b)=10^4*(a+b)。
1=4*(a+b)、
a+b=1/4、
(a+b)^2=1/16。

２）k<-2x^3+3x^2+12x の右辺をf(x)とおいて、三次関数のグラフの形状を調べます。
f(x)の導関数f'(x)を求めて因数分解すると、
-6(x-2)(x+1)
となるので、x=-1、2のとき、f(x)の接線の傾きがゼロ。
f(x)のx^3の係数が負なので、x=-1 近辺では下に凸（極小）、x=2 近辺では上に凸（極大）。
任意のxに対して k<f(x) となるには、定数kがf(x)の最小値より小さければいい。
で、x=<-1の条件があるから、（グラフの形状からすると）f(x)が極小となるx=-1で、f(x)は最小値をとることになる。
f(-1)=-7なので、k<-7。

お礼

なるほど！
やっぱりa= b=でだすのは間違いだったんですね。
とてもよくわかりました。
ありがとうございました。

回答No.2

mild_salt

(1) ちょっとわかりにくいのですが,
(√2)^(1/a) = 100, (√5)^(1/b) = 100
ということですね?
指数の部分にでてきているa, bについてこの式が解ければよいのですから（つまり, a=..., b=... の形になればよい）, 対数を使うのが一番素朴かと思います. これらの式の両辺の対数をとりましょう. あとは, 対数がらみで成り立つこと（公式など）を使えば解けます.

(2) この手の問題はグラフを考えるのが一番かと思います.
この不等式が, x≦-1で成立するということは, y=2x^3-3x^2-12x+k のグラフがx≦-1の部分では常にx軸よりも下にある, ということと同値です. 微分によってグラフの増減を求め, これによってx≦-1の部分で常にグラフがx軸より下にあるための条件を求めることができます.

または.

2x^3-3x^2-12x < -k と考えると, y=2x^3-3x^2-12xという3次関数のグラフが, x≦-1でy=-kを下回るためのkの条件, を求めればよいですね.
こっちの方が簡単かと思います.

回答No.1

mitochan1975

10年以上のブランクがあるので自信なしですが

(1)
対数とって、1/a = log 100 （底√2）、ｂも同様、
あとは計算じゃないですか？

(2)
グラフの増減をしらべないといけないと思います。
f'(x)=0を調べて、極大値においても不等式が満たされることを確認しないと。