絶対値を含む不等式について。

質問

こんにちわ。
数学でわかならない所があるので教えてください。
問題は
｜2x^2＋ｘ－6｜－｜3x^2ーX－14｜≧０　解くと

｜2x^2＋ｘ－6｜≧｜3x^2ーX－14｜
｜（x＋2）（２ｘ－3）｜≧｜(x＋2）(3x－7）｜
両辺は、≧０より、正か0だから
｜X｜≧｜Y|　⇔　｜X｜^2≧｜Y|^2
の公式より
(x＋２)^2（２ｘ－3）^2≧（x＋２）^2　（３ｘ－７）^2
から両辺を(x＋２)でくくると
（x＋２）^2｛（２ｘ－３）^2ー（３x－７）^2｝≧0
｛｝の中を計算すると
（３ｘ－７）^2ー（２x－３）^2
＝－５（ｘ－２）（ｘ－４）
よって、
５（x＋２）^2（ｘ－２）（ｘ－４）≦０　━(1)
ここまではわかるんだけど、
次の場合分けがよくわからないです。
((1)）x＋２＝０のとき、(1)は成立
よって、　X＝－２
（(2)）ｘ＋２＝０ではないのとき、（ｘ＋２）^2＞０だから、(1)から
（ｘ－２）（ｘ－４）≦０
よって　２≦ｘ≦４
（(1)）、（(2)）から
ｘ＝－２、　２≦ｘ≦４
二つの場合の分け方はx＋２に注目しているけど、
これは２乗の形だからなの？

もし、分かる人がいたら教えてください

回答No.2

ticky · ベストアンサー

>二つの場合の分け方はx＋２に注目しているけど、
>これは２乗の形だからなの？

「２乗の形だから」だと言って良いと思います。
なぜならば（ｘ－２）（ｘ－４）の部分が（ｘ－２）（ｘ－４）＞０のときでも、
（x＋２）^2≦０ の場合があるからです。
そのために、まず（x＋２）^2≦０の場合について考えて、それから
（x＋２）^2＞０のときに（ｘ－２）（ｘ－４）≦０になる場合を考えていますね。

また、微分を習っていれば（まだ習っていないのかもしれませんが）、
ｙ＝（x＋２）^2（ｘ－２）（ｘ－４）のグラフがどのようなものか、わかると思います。
四次関数の一般的な形は、y=a（x-b）（x-c）（x-d）（x-g）ですが、
ｙ＝a（x-b）^2（ｘ－c）（ｘ－d）の形になっているために、すこし特徴的な形になります。

回答No.1

0shiete

(x+2)^2(x-2)(x-4)の形になっているんですよね。

これはくねくね曲がっているグラフですね。
今はこれの値が0以下になるxの範囲を求めたい。

このグラフがx軸と交わっているところはどこですか？
因数分解してあるのでさがしやすいですね。
(x+2)=0よりx=-2
(x-2)=0よりx=2
(x-4)=0よりx=4

だから、
x<-2
x=-2
-2<x<2
x=2
2<x<4
x=4
4<x
のそれぞれのxについて
(x+2)^2(x-2)(x-4)が負かゼロになるかどうかみていけばいいわけです。

最初は、このように考えればいいとおもいますよ。
ご質問にある回答は、わかっている人の書き方です。

慣れてきたら、あなたにも
書けるようになりますよ。