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絶対値のついた不等式
テストに出た問題に 実数aに対し, |x|<a ⇔ -a<x<a を使い解答したところ答えはあっているのですが、 「それはa>0のときだけ」と言われ部分点すらもらえませんでした。 たしかにaが負だと不等号の向きが変わると思うのですが、これがどんな問題に使っても答えが合うのです。 実際のところどうなのでしょうか。(a<0のときも使えるのでしょうか)
- poco3141592
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不等式 -x^2+5x+2>2|x-1| は確かに x^2-5x-2<2x-2<-x^2+5x+2 と同値です. そして後者の不等式は x^2-5x-2<-x^2+5x+2 すなわち (移項して2で割ることにより) 0<-x^2+5x+2 を含んでいます.-x^2+5x+2 は質問に現れるaに他なりません.ですから「それはa>0のときだけ」というのは批判になっていないわけです.
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- shkwta
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横軸にx, 縦軸にaをとってグラフを描くと、 |x|<a -a<x<a この2つは同じ領域です。 つまり、aの正負に関係なく |x|<a ⇔ -a<x<a は真です。 同値とは、両辺の命題が同時に真となる、または同時に偽となることを意味します。 aが負のときは、両辺が同時に偽になります。 ということで、aとxが実数ならば、|x|<a ⇔ -a<x<a はaの正負を確認せずに、どんな問題にもそのまま使えます。 a>0でないときは|x|<a ⇔ -a<x<aが成立しない、というのは採点者の勘違いと思います。P⇒Q や P⇔Q で「命題Pが偽のとき」というのはなかなかイメージしにくいときがあるので、ついうっかりしたのでしょう。
お礼
ありがとうございます。 どうやら成り立つようですね。 |x|>a ⇔ x<-a または a<x も同じように真なのでしょう。
- maiuumaiuu
- ベストアンサー率22% (2/9)
「テストに出た問題」を一切省略せず,全文を書き込むのがいいと思います. 「どんな問題に使っても答えが合うのです」とのことですが,それらの問題も書き込むといいでしょう. 現状では話がかみ合っているのかどうか,心配です.
補足
『不等式 -x^2+5x+2>2|x-1| を解け。』 です。 xが実数という条件は特に書かれていませんでした。 ちなみに、これを x^2-5x-2<2x-2<-x^2+5x+2 としました。 x^2-5x-2<-x^2+5x+2なのか?と疑問に思いましたがそのまま解いて0<x<4となりました。 模範解答のほうは場合分けをして結局同じ0<x<4です。
- ritumushi
- ベストアンサー率16% (1/6)
補足します。a<0は、もちろん,a=0のときも正しい。従って使える。使い方に問題があったのではないでしょうか。
お礼
たしかに、何も断らずにいきなり使ったのはまずかったかもしれませんね(^^;)
- ritumushi
- ベストアンサー率16% (1/6)
正しいと思います。なぜなら、a<0のとき、条件|x|<aを満たす実数は存在しない。また、条件-a<x<aを満たす実数xは存在しないので二つの条件同値だと思います。
- kansai_daisuki
- ベストアンサー率27% (23/84)
すみません。 以下は間違えました。 ▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼ 以上より、成り立つのは、 -a<x<a ⇒ |x|<a -a<x<a , a>0 ⇒ |x|<a |x|<a ⇒ -a<x<a , a>0 であり、 |x|<a ⇒ -a<x<a は成り立ちません。 ▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲ 以下が正しい内容です。 ▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼ 以上より、成り立つのは、 -a<x<a , a>0 ⇒ |x|<a |x|<a ⇒ -a<x<a , a>0 |x|<a ⇒ -a<x<a であり、 -a<x<a ⇒ |x|<a は成り立ちません。 ▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲
お礼
いつも回答ありがとうございます。 -a<x<a ⇒ |x|<a は成り立たないのですか・・・。
- kansai_daisuki
- ベストアンサー率27% (23/84)
>|x|<a ⇔ -a<x<a >を使い解答したところ答えはあっているのですが、 >「それはa>0のときだけ」と言われ部分点すらもらえませんでした。 誰もが知ってるように、|x|≧0です。 ならば、0≦|x|<a ⇔ 0<a だから、|x|<aを出した時点で、0<aは自明ですよね。 よって、|x|<a ⇒ -a<x<a です。 次に、-a<x<a ならば、 1:a>0のとき、-a<x<a ⇒ -a<x,x<a ⇒ |x|<a 2:a=0のとき、-a<x<a ⇒ 0<x,x<0 ⇒ 解なし。 3:a<0のとき、a<-aより -a<x<a 自体が成り立たない。 よって、-a<x<a ⇒ |x|<a は成り立たない。 -a<x<a , a>0 ⇒ |x|<a は成り立つ。 以上より、成り立つのは、 -a<x<a ⇒ |x|<a -a<x<a , a>0 ⇒ |x|<a |x|<a ⇒ -a<x<a , a>0 であり、 |x|<a ⇒ -a<x<a は成り立ちません。 だから、質問者さんは、 |x|<a ⇒ -a<x<a と書くか、 |x|<a ⇔ -a<x<a , a>0 と書くしか、 正解にしてくれません。 |x|<a ⇔ -a<x<a は、正解には出来ませんよ。間違ってるし。 部分点ぐらいなら上げてもいいですが、 その採点者の判断基準ですから、なんとも言えません。 ここで、 A⇒Bは、B∋A、よってA=Bとは限りません。 A⇔Bは、B∋AかつA∋B、即ちA=Bです。 数学の証明では、少なくとも大学受験まではA⇒Bを示すだけでは不正解、良くても部分点にしかならないと思っておいた方が良いです。 A⇔Bを示せば、正解になります。 私の経験上は、学校のテストでも模試でも、この採点基準に例外はなかったという記憶があります。
- postro
- ベストアンサー率43% (156/357)
そもそも 0≦|x| だから aが負のとき |x|<a はありえませんよね。 >これがどんな問題に使っても答えが合うのです。 ↑たとえばどんな場合か書いていただけるとうれしいです。
お礼
aが負のときは成り立つはずがないのですか、気づいていませんでした。 問題は後ほど具体的に書きますね。
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