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積分計算のしかたを教えてください
bran111の回答
- bran111
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I=∫[-2→4]√(8+2x-x^2)dx=∫[-2→4]ydx と置いてみると y^2=(8+2x-x^2)=(9-(x-1)^2) 整理して (x-1)^2+y^2=3^2 従ってこの曲線は中心(1,0),半径3の円であって、求める面積はx軸より上の領域、つまり 半径3の上半分ということで面積はπ3^2/2=9π/2 三角関数を使って見たければ置換積分の手法に従って x-1=3sinθと置く。 y=√(8+2x-x^2)=√(9-(x-1)^2)=√9-9sin^2θ=3cosθ dx/dθ=3cosθ ⇒ dx=3cosθdθ 横軸にθ、縦軸にxを取ってx=3sinθ+1のグラフを書いてわかるように x:[-2→4]はθ:[-π/2→π/2]に対応している。よって I=∫[-2→4]√(8+2x-x^2)dx=√(9-(x-1)^2)=∫[-π/2→π/2]3cosθ3cosθdθ =9∫[-π/2→π/2]cos^2θdθ=9∫[-π/2→π/2][(cos2θ+1)/2]dθ =(9/2)[sin2θ/2+θ][-π/2→π/2]=9π/2
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