積分計算のしかたを教えてください

質問

次の積分の計算のやり方が分かりません。
答えは9π/2なのですが、その導き方をどなたかご教授ください。
よろしくお願いします。

∫[-2→4]√(8+2x-x^2)dx

答えにπが含まれているので、三角関数を使うのかな、ということは分かるのですが…どれを使ったら有効であるのかが分からないうえ、この問題を見てどうして三角関数を思いつくのかが分かりません…

回答No.1

noname#232123 · ベストアンサー

f(x)=√{8+2x-x^2}
=√{3^2 - (x-1)^2}
ですから、x-1=3*sinφ, (|φ|≦pi/2) と置き換えてください。
-------------------
※これは、半径３の半円の面積です。3^2*pi/2.

お礼

なるほど！平方完成すればよいのですね。
気付かなくてずっと因数分解しておりました…

回答ありがとうございます！

回答No.2

bran111

I=∫[-2→4]√(8+2x-x^2)dx=∫[-2→4]ydx

と置いてみると

y^2=(8+2x-x^2)=(9-(x-1)^2)

整理して

(x-1)^2+y^2=3^2

従ってこの曲線は中心(1,0),半径3の円であって、求める面積はｘ軸より上の領域、つまり

半径3の上半分ということで面積はπ3^2/2=9π/2

三角関数を使って見たければ置換積分の手法に従って

x-1=3sinθと置く。

y=√(8+2x-x^2)=√(9-(x-1)^2)=√9-9sin^2θ=3cosθ

dx/dθ=3cosθ　⇒　dx=3cosθdθ

横軸にθ、縦軸にxを取ってx=3sinθ+1のグラフを書いてわかるように

x：[-2→4]はθ：[-π/2→π/2]に対応している。よって

I=∫[-2→4]√(8+2x-x^2)dx=√(9-(x-1)^2)=∫[-π/2→π/2]3cosθ3cosθdθ

=9∫[-π/2→π/2]cos^2θdθ=9∫[-π/2→π/2][(cos2θ+1)/2]dθ

=(9/2)[sin2θ/2+θ][-π/2→π/2]=9π/2

お礼

解き方を詳しく説明してくださってありがとうございます！
よく理解することができました。

回答ありがとうございました！