(1-cosθ)/θ^2の近似

質問

力学のパートで、
(1-cosθ)は近似により、

θ^2/2

になる。

ということが書いてありました。

単振動の解法の部分でこの解説がありましたが近似の解釈ができませんでした。

どうしてそうなるのかご指導おねがいします。

回答No.2

f272 · ベストアンサー

θが小さいときは
sinθ=tanθ=θ
です。
また、三角関数の倍角の公式から1-cosθ=2(sin(θ/2))^2が成り立ちます。
したがってθが小さいときは
1-cosθ=2(sin(θ/2))^2=2(θ/2)^2=θ^2/2
ですね。

お礼

ビギナーでも最低限の知識から導出できる説明をご指導下さり誠にありがとうございます。

お陰様ですっきりしました。
今後ともご指導お願い申し上げます。

回答No.1

bran111

θ=0の近傍でcosθをテーラー展開（θの冪級数に展開する）すると

cosθ=1-θ^2/2!+θ^4/4!-θ^6/6!+....

となります。

これを用いて

1-cosθ＝θ^2/2!-θ^4/4!+θ^6/6!-....

|θ|<<1のとき右辺第１項によって近似することができて

1-cosθ＝θ^2/2!＝θ^2/2

としています。

テーラー展開については下記のurl等を参照してください。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E5%B1%95%E9%96%8B

お礼

ありがとうございます。極限の求め方でテーラー展開を用いると導出できるのですね。
大変な入力作業にもかかわらずご親切にご指導、解説下さり誠にありがとうございます。

お陰様で大変クリアカットできました。今後ともよろしくお願い申し上げます。