この数学の問題の答えを教えてください！

質問

x=cos2t,y=sin3t,y=0 (tは0以上π/3以下）で囲まれた図形の面積を求めてください。
という問題で、

(1)　ｙの二乗をｘを用いて表してください
(2)　どこからどこまでの積分ですか？
(3)　面積はいくつですか？

よろしくお願い致します。

回答No.3

info222_ · ベストアンサー

(1)　ｙの二乗をｘを用いて表してください

y^2=(sin(3t))^2=(1/2)(1-cos(6t))
=(1/2)-(1/2)(cos(4t)cos(2t)-sin(4t)sin(2t))
=(1/2)-(1/2)(2(cos(2t))^2-1)cos(2t)+cos(2t){1-(cos(2t))^2}
=(1/2)-(1/2)(2x^3-x)+x(1-x^2)
=-2x^3+(3/2)x+(1/2)

(2)　どこからどこまでの積分ですか？

xでの積分範囲か、媒介変数tでの積分範囲か、どちらですか？
x=cos(2t)なので
dx=-2sin(2t) dt
0<t<π/3では -2sin(2t)<0
dx>0のとき　dt<0
ydx=sin(3t)(-sin(2t)) dt=-sin(3t)sin(2t)dt>0

なので積分範囲は逆になること注意して
積分変数がxのときの積分範囲は
x:[cos(2π/3)→cos(0)]=[-1/2→1]
これを積分変数tに変換した場合の積分範囲は
t:[π/3,0]
となります。

(3)　面積はいくつですか？
面積Ｓは(2)の積分範囲より

S=∫[cos(2π/3),cos(0)] ydx
=∫[π/3,0] sin(3t)(dx/dt)dt
=∫[π/3,0] sin(3t)(-2sin(2t))dt
=∫[0,π/3] 2sin(3t)sin(2t) dt
=∫[0,π/3] cos(t)-cos(5t) dt
=[sin(t)-(1/5)sin(5t)][0,π/3]
=(√3)/2-(1/5)sin(5π/3)
=(√3)/2-(1/5)(-√3)/2
=3(√3)/5

となります。

お分かり？

お礼

みなさん、迅速丁寧なご回答ありがとうございました。
答えは分かったので、自分でも解いてみようと思います。

回答No.2

f272

(1)
x=cos(2t)=1-2sin(t)^2
だから
sin(t)^2=(1-x)/2
また
y=sin(3t)=3sin(t)-4sin(t)^3
y^2=9sin(t)^2-24sin(t)^4+16sin(t)^6
だから
y^2=(9/2)(1-x)-6(1-x)^2+2(1-x)^3
y^2=(9/2)-(9/2)x-6+12x-6x^2+2-6x+6x^2-2x^3
y^2=(1/2)+(3/2)x-2x^3
y^2=(1+3x-4x^3)/2
(2)
y^2=(1-x)(1+4x+4x^2)/2
y^2=(1/2)(1-x)(1+2x)^2
y=√((1/2)(1-x))*(1+2x)
と変形すれば
x=-1/2から1までだとわかる。
また図を描いてもすぐわかる。
(3)
省略

回答No.1

noname#207389

多分、yとxの陽関数で表そうとするとかなり変形が面倒(もしかしたらできない)ので、媒介変数をうまく使うべきです。

x=cos2t
dx/dt=-2sin2t

y=sin3t
dy/dt=3cos3t

0≦t≦π/3 のtの範囲の変化に気をつけて
x,yの変化を調べます。
とすると、
dx/dt=-2sin2t < 0より範囲内で単調減少
dy/dt=3cos3t = 0 は、t=π/6

そして、増減表を書いてグラフの概形を調べると与えられたtの範囲以内のすべてのxにおいて、0≦y となります。多分山のような形になります。
(t=π/6 すなわち x=1/2 で極大値を取る)

積分区間は x: -1/2 → 1 ですが、
積分はxまたはyで表すことはできないので、tについての積分にします。
よって、x: -1/2 → 1 の変化をtに置き換えます。 すると、
t: π/3 → 0 変なので、逆にして

t: 0 → π/3 (この時インテグラルにマイナスをつけるのを忘れないように)

∮ y dx = -∮ sin3t × (-2sin2t) dt

後は積分の計算です。同じものが出てくるので工夫が必要となります。
私は計算結果は出ましたが、あまり自信がないので載せません。とりあえず、指針だけは載せました。参考にどうぞ。

x と y を t で積分 → t の変化でx,yの増減を調べる → 増減表と概形を書く → 面積は ∮ y dx で表して、t の積分に置き換える。→ 計算‼︎