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不定積分を求めよ

∫cos(1-2x)dx = -1/2sin(1-2x) +C (どこから-1/2がでてきたのか) ∫√(5x-1)dx = 2/15(5x-1)√(5x-1) + C (なぜ、最後に√(5x-1)を掛けるのか、自分で解くと、2/15(5x-1)^3/2 + C となります。) ご教示お願いします。

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noname#215361
noname#215361
回答No.1

左辺から右辺への積分が分からなかったら、右辺から左辺への微分を考えましょう。 y=sin(1-2x) と置いて、y=sinu、u=1-2xとすると、 dy/dx=dy/du*du/dx=cosu*(-2)=-2cos(1-2x) ここで-2が出てくるので、簡単には帳尻合わせのために-1/2が必要になります。 (5x-1)√(5x-1) =(5x-1)^(3/2)で合っています。 (5x-1)√(5x-1) =(5x-1)^(3/2)と置いて、y=u^(3/2)、u=5x-1とすると、 dy/dx=dy/du*du/dx=3/2*(5x-1)^(1/2)*5=15/2*(5x-1)^(1/2) ここで15/2出てくるので、簡単には帳尻合わせのために2/15が必要になります。 これは、合成関数の微分の逆ですが、多くの問題をこなして慣れることが必要だと思います。

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その他の回答 (2)

  • ki-inage
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回答No.3

こういう時の解決方法は文字を置き換えることです。この場合は 1-2xをtとします。dt/dx=-2、又はdx=-1/2dtと成ります。 現式はインテグラル内は-1/2cos(t)dtに成ります。これを積分すると-1/2sin(t)+c 即ち-1/2sin(1-2X)+c cは積分定数となります。 この場合もルート5x-1 例えばtとします。 t/^2=5x-1ですね? これおxで微分します。2tt'=5 又は2tdt/dx=5  即ちdx=2/5tdtです。 これにより現式は2/5t^2をtで積分することに成ります 答えは2/15(5x-1)/^3/2+cと成ります。 これらの場合文字を置き換えるのが最適です。 例えば積分において(a^2-a^2sinx^2)^1/2の場合a=asinx とか 、極限値を求める場合 例えば sinx(cos(x/2)-1)/sin(x/4)^2のxが0に近づいた場合の極限値を求める場合例えばx/4をtに置き換えた場合現式は sin4t(cos2t-1)/(sint)^2となります。この場合殆ど三角関数の極限値を求める場合sinx/ xが0に近づいた場合1に収束する。これに持ち込むか?いかに文字を置き換えるか数学では大切なことです。 その場合機械的に計算できるのが最大のメリットです。

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noname#215361
noname#215361
回答No.2

ANo.1の訂正です。 誤:「(5x-1)√(5x-1) =(5x-1)^(3/2)と置いて」→ 正:「y=(5x-1)√(5x-1) =(5x-1)^(3/2)と置いて」

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