ベルトランゲームが行われた時のナッシュ均衡について

質問

企業AとBの2社がある。1個作るのに1円の費用がかかる。買う人は4円払ってよい人と3円払ってよい人と2円払ってよい人の3人がいる時のナッシュ均衡を教えて下さいm(_ _)m

回答No.2

statecollege

訂正と追記。
回答１の
「３人の消費者の需要は、価格が4以下であるかぎり、より低い価格を設定した企業の製品に向かうが、両企業が同じ価格を設定したときは、その価格で得られる期待利得は総利潤の1/2が各企業に向かうと各企業は予想するとしよう」
は、
「３人の消費者の需要は、価格が4以下であるかぎり、より低い価格を設定した企業の製品に向かうが、両企業が同じ価格を設定したときは、確率1/2で企業A（したがって確率1/2で企業Ｂ）の製品に向かうとする。したがって、たとえば、両企業とも価格を４に設定するなら、１人の消費者がAかBかどちらかの製品を確率1/2で消費するので、企業A（B）の期待利潤は(4-1)/2=3/2となる。」
と訂正してください。あとは、回答１の通り。

なお、(PA,PB) = (2,2)がベルトラン・ナッシュ均衡であるのは、企業Bが価格PA＝２に設定するなら、企業Aの最適反応はPA=2であるから、２に設定するし、企業Aが価格PA=2に設定するなら、企業BはPB=2に設定するのが最適反応である。ゆえに、戦略の組(PA,PB)=(2,2)は互いに相手の戦略の最適反応になっているので、ベルトラン・ナッシュ均衡なのだ。このとき、各企業の期待利得は3/2となる。同様にして、(PA,PB)=(1,1)もベルトラン・ナッシュ均衡で、このときの、各企業の期待利得は０だ。この２つの組以外にナッシュ均衡がないことは、両企業の最適反応関数からあきらか（なぜ？）

回答No.1

statecollege

戦略の組は、各プレイヤーの戦略が互いに相手の戦略に対して最適反応となっているとき、ナッシュ均衡であるという。
したがって、ナッシュ均衡を見つけるためには、相手の戦略に対して最適な自分の戦略を示す、「最適反応関数」を各プレイヤーについて求めればよい。このゲームのプレイヤーは企業AとB、各プレイヤーの戦略は各企業が各企業が設定する価格PAとPBである。各プレイヤーの利得は、各企業の得る利潤だ。３人の消費者の需要は、価格が4以下であるかぎり、より低い価格を設定した企業の製品に向かうが、両企業が同じ価格を設定したときは、その価格で得られる期待利得は総利潤の1/2が各企業に向かうと各企業は予想するとしよう。よって、企業Aの利得関数をΠA(PA,PB)と書くと、

ΠA(4,4)=ΠB(4,4)= 3/2
ΠA(3,3)=ΠB(3,3)= 2
ΠA(2,2)=ΠB(2,2)=3/2
ΠA(1,1) =ΠB(1,1) = 0

となることに注意。いま、企業Aの最適反応関数RA(PB)は

RA(PB)
=4 PB>4のとき
=3 PB=4のとき
=2 PB=3のとき　　　　　　　　　　　　　　
=2 PB=2のとき
=1以上の任意の整数 　 　PB=1のとき
=1以上の任意の整数　　 PB= 0のとき

企業Bの最適反応関数RB(PA)についても同様。
以上から、ベルトラン・ナッシュ均衡は(PA,PB) =(2,2)と(PA,PB)=(1,1)の２つである（なぜ？）。