aからｂまでの整数の個数の計算式

質問

ある整数aから整数bまでの個数を知りたい時の「計算式」について教えてください。

私は、小学校の算数の様に数直線上に数字が並んでいる状態で両端の数字の差を取り1を足す方法、つまり　b-a+1 （Ａ式とします。）と考えるのが一般的だと思います。

しかし、友人が　b-(a-1)　（Ｂ式とします。）だと言っていたのですが、このＢ式はどういう発想なのでしょう？

特に　a-1の項の意味が分かりません。

計算結果はもちろん一緒なのですが、Ｂ式の発想をどうしても知りたいです。
よろしくお願いします。

回答No.4

nabla · ベストアンサー

うーん。図が見づらいですね。すみませんがご自分で紙にでも書いてください。（＃は７番目から１３番目まで書いたつもりです）

補足

＃３のご回答を拝見し、Ｂ式の方が一般的で理にかなっていると思えてきました。

回答No.8

yuusukekyouju

たとえば２桁の自然数はいくつあるかという問題を考えてください。

これは整数１０から整数９９までの個数はいくつあるかと同じ問題です。

この場合２桁以下の自然数は９９（整数b）です
この中には１桁の自然数が９（a-1）含まれています。

ですから
２桁の自然数＝２桁以下の自然数-１桁の自然数
つまり
ｂ-（a-1）となります。

お礼

ご説明ありがとうございました。＃３のかたのご回答と共通しますが、Ｂ式の発想は、今回の例の場合、1桁の自然数の個数を差し引くということなんですね。
ありがとうございました。

回答No.7

matherlake

No.６です。図がずれたので再度書き込みます

aからbまでの整数を順に並べると

　　 　a,a-1,・・・・・・・,b+1,b,b-1,b-2・・・
－） 　　　　　　　　　　　　 　b-1,b-2・・・
------------------------------------　　
　 　a,a-1,・・・・・・・,b+1,b　　

従ってaからbまでの整数の数を出すには、aまでの個数から（ｂ－１）までの個数を出せばよい。

お礼

ご説明ありがとうございました。式で筆算すると分かり易いんですね！参考になりました。

回答No.6

matherlake

面白いことに着目されますね。
aからbまでの整数を順に並べると

　　 a,a-1,・・・・・・・,b+1,b,b-1,b-2・・・
－） b-1,b-2・・・
------------------------------------　　
　 　a,a-1,・・・・・・・,b+1,b　　

従ってaからbまでの整数の数を出すには、aまでの個数から（ｂ－１）までの個数を出せばよい。

お礼

ご回答ありがとうございました。
並び方が大きい順なので、ちょっと迷いましたが、意味は分かりました。
このように式で書けば分かり易いですね。ありがとうございます！

回答No.5

tomoptomop

確かに小学生の時は b-a+1 で教わりましたよね。
ご友人の b-(a-1)は、ゼロオリジン（ゼロから数をはじめる）考え方なんだと思います。ゼロオリジンを説明する方法としては、次のような感じです。
数直線上に数字が並んでいるというイメージは、数直線上に刻まれた点の数を数える感じになりますが、これを箱がただ３個並んでいるのを想像してください。そして箱と箱の隙間を基準に考えます。両端の箱の外側も隙間として考えます。つまり隙間と隙間に箱が１個あることになります。最初の隙間は一個目の箱の手前（０）になります。次に一個目と二の隙間が１、二個目と三個目の隙間が２、三個目の箱の外側になる隙間が３です。
一個目の箱の手前から数え始めるので（ａ－１）になり、最後の隙間＝３からそれを引けば箱の個数になります。

ちょっと脱線して

この箱を数直線上で考えると
一は、1～2
二は、2～3
三は、3～4
というような線分で表現できます。分り易さの為に１オリジンです。(ゼロオリジンなら 一 ＝0～1）
実際には隣あう数字で線分の境目を共有しているので、
1≦一＜2、2≦二＜3　のようになりますが。
箱の数はイコール線分の長さなので、一～三の範囲の線分長さ算出(4-1=3)で求まります。
数直線上の点を数える場合は、これらの線分を「線分の範囲の先頭の数(=ここでは1)」で表現しているので、線分の計算に必要な「線分の範囲の最後尾(=ここでは4)」が欠落してしまいます。
こうして考えると、線分の計算になぞらえるのであれば
(3+1)-1　→　(三+1) - 一
つまり (b+1)-a です。
欠落を後で補うと考えれば b-a+1 です。

そんなわけで、色々な見方をすることで、どれも正しいと言えるような気がするんですがいかがでしょうか。

お礼

詳しい説明、ありがとうございました。
Ａ式は小学校で習うやり方なんですね。納得しました。
ゼロオリジンの考え方もなんとか分かりました。
ありがとうございました。

回答No.3

nabla

具体的な数値で考えてみましょう。
a=7,b=13とします。
下の図を見ながら考えてみましょう。（/はおはじきだとでも思ってください）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
a / / / / / / /
b / / / / / / / / / / / / /
# # # # # # #
そして今求めたいのは７番目のおはじきから１３番目のおはじきまでの数を数えるといくつかと言うことです。

このときのあなたの友人の発想はこうです。
単純にb-aとすると、７個目のおはじきは除かれてしまう。７個目からの個数を数えたいなら取り除くのは６個目のおはじきまでだ。

ところで僕としてはあなたの考え方の方が気になります。補足のところにでもお願いします。

お礼

ご回答、ありがとうございました。
＞取り除くのは６個目のおはじきまで
まさしくこの発想でＢ式が生まれるわけだと、分かりました。
スッキリしました。ありがとうございました。

補足

私の発想は頭の中に数直線を書き、1,2,3・・・と印をつけています。
７から１３までの数字の場合、１３、１２、・・・８と大きい方から数え（１３－７と計算します）、最後の７の分の１つを足しています。
算数の問題で「道路に木が１３本立っています。7番目から13番目までの木を、ロープでつなぎます。ロープは何本必要ですか？」の場合、１３－７。
「同じ前提で、7番目から13番目までの木それぞれをロープで巻きます。ロープは何本必要でしょうか？」というとき、１３－７＋１と考えてしまうんです。

おはじきだと、
13個目、12個目・・・８個目までが１３－７で表せるので、残りの7個目の1をプラスしています。

発想が数学的じゃないということなのでしょうか。
ムムム・・・。

回答No.2

gatyan

b-a+1 -> (b-a)+1 とすれば、aの次から1,2,3と数え初めて、最後にaを数え忘れていたので、+1
b-(a-1) は、aを1つ目として数え始めるという考え方では？

お礼

早速のご回答、ありがとうございました。
aを１つ目として考える時にどうして　a-1　と計算するのかが分かりません・・・。そういう考え方もあるのかもしれませんが、私の頭では、混乱して間違えそうです！

こういう考え方もあるのだなあと、とても参考になりました。ありがとうございました。

回答No.1

reply

b-(a-1)
Ｂの値からＡの一つ前の値を引いたら、ＢからＡまでにある整数の数が分かる。

お礼

早速のご回答、ありがとうございました。
質問文が分かりにくくてすみません。
なぜ、Ａの一つ前の値を引くかが分からないんです・・・。数学が苦手な者って、こういうところで差が出てしまうものなんですね。
ありがとうございました。