a^2+b^2+c^2>250を満たすa,b,c（１から１０の整数）は？

質問

a^2+b^2+c^2>250　という式が与えられ、
整数a,b,cは１から１０の範囲にあります。
a,b,cの組を見つけるのですが、2連続ミスりました。
このようなミスがなぜ起こったのかを数学に
慣れた方から聞いてみたいと思いました。
たぶん思い込みが根底にあると思うのですが、
できる人ならこんな簡単な問題を間違わないと思うので、
経験以外の何かしらの問題に取り組む際の姿勢みたいなものが
不足しているのかなぁとか思うのですが。
できれば下の解答を見る前に解いていただければと思います。

私の解き方はまず9^2を3つ足してみて、２４３だから、
次に9^2を2つと10^2を足して、262でOKなので、更に
(a,b,c)=(9,10,10),(10,10,10)を加え、
(a,b,c)=(9,9,10),(9,10,10),(10,10,10)
を答えとしましたが実際はひとつ抜けていて、
(a,b,c)=(8,10,10),(9,9,10),(9,10,10),(10,10,10)でした。

回答No.2

rtz · ベストアンサー

まずは全て求めるんじゃなくて、組み合わせを求めます。
その際前の方の数字が後ろの数字以上であると決めておきます。
（組み合わせなのでそれで全て求まる）

まず1番後ろの数字を減らしていきます。
(10,10,10)→(10,10,9)→(10,10,8)→(10,10,7)249になってここで終わり。即ち(10,10,6)～(10,10,1)は考えなくていい。
次は2番目の数字を1つ減らして、さらに1番後ろの数字を減らすようにします。(10,9,9)→(10,9,8)245になってここで終わり。(10,9,7)～(10,9,1)は考えなくていい。
さらに2番目の数字を1つ減らします。
(10,8,8)228でここで終わり。(10,8,7)～(10,8,1)は考えなくていい。さらに初めから無理だったので以降(10,7,7)～(10,1,1)まで考えなくていい。
これで10が1番初めにくるものは終わりです。
続いて(9,9,9)ですがこれが243ですので以降考えなくていいですね。
しらみつぶしの場合は1つ1つ丁寧に減らしていったほうがいいでしょう。

またこの問題の場合のみですが、a,bが最大となる10だったとき、
10^2+10^2+c^2＞250よりc^2＞50となりcは8以上と分かります。
つまり8を取る可能性があることを認識しておくことは重要です。

回答No.4

lick6

すみません。最後のところで間違ってしまいました。
×(a,b,c)=(8,10,10)(9,10,10)(10,10,10)(9,10,10)の順番を並び替えたもの
○(a,b,c)=(8,10,10)(9,10,10)(10,10,10)(9,9,10)の順番を並び替えたもの

回答No.3

lick6

この手の問題は「自分で大小関係をきめてしまう」というのが定石だったと思います。
それで求まった組み合わせを最後に順番をかえれば答えが出ます。
>私の解き方はまず9^2を3つ足してみて、２４３だから
これは検討をたてることができるので、やったのは○です。
このことからa b c はそんなに小さくなれない　と予想を立てます。
以下は解答っぽく書いてみます。
a ≦ b ≦ c とする
　250 < a^2 + b^2 + c^2 ≦ 2 * b^2 + c^2 ≦ 3 * c^2
よって 83.3 ≦ c^2
1≦c≦10 の範囲でこれを満たすのは c = 10 のみ
∴c = 10
　このとき
　 250 < a^2 + b^2 + 10^2
　 150 < a^2 + b^2 ≦ 2 * b^2
　 よって 75 ≦ b^2
　　1≦c≦10 の範囲でこれを満たすのは b = 9, 10
(i)b = 9のとき
　69 < a^2 より a = 9, 10 だが a ≦ 9 なので a = 9
(ii)b = 10 のとき
　50 < a^2 より a = 8, 9, 10 これは a ≦ 10 を満たす
　よって　a = 8, 9, 10
以上より求める組み合わせは
(a,b,c)=(8,10,10)(9,10,10)(10,10,10)(9,10,10)の順番を並び替えたもの
こんな感じでしょうか

お礼

このように不等式の解をを機械的に絞る方法大好きです。
かっこいい解答ありがとうございました。

回答No.1

kishiura

10から順に減らしていけばいいと思います。
誤った原因は、９から始めたことだと思います。