a^b = b^a 0＜ａ＜b を満たす整数の組

質問

y=x^(1/x)（ｘ＞0）のグラフを用いて
a^b = b^a　0＜ａ＜b　を満たす整数の組を求めたいのですが
どのように求めたらいいのでしょうか？

回答No.2

info22 · ベストアンサー

a^(1/a)=b^(1/b)の時 a^b=b^aになります。
x^(1/x)の最大値はx=eのとき最大値e^(1/e)(≒1.44...)
1<y<e^(1/e)を満たすyに対するxが1<x<eとe<xの範囲に一個ずつ存在する。
0<a<bからaは1<x<eを満たす整数で、それに対する整数bはe<xを満たす。
なのでaの候補は2しか存在しない。
a=2なら、a^b=b^a　にaを代入してb(＞e＝2.718 ...)を求めれば良いですね。
2^b=b^2
b=2^(b/2)
これを満たす整数b（３以上）を見つけて下さい（１つしか存在しません）。

お礼

回答ありがとうございます
わかりました
＞a^(1/a)=b^(1/b)の時 a^b=b^a
自分はここで何かへんなことをしていました
あとはｙ＝ｆ(x)とおけば、ｆ(a)＝ｆ(b)となるa,bを決めるだけだったんですね

回答No.1

f272

y=x^(1/x)（ｘ＞0）のグラフを描けば
x^(1/x)はx=eで最大
x^(1/x)→1 (x→∞)
が分かるでしょう。
それとy(1)=x^(1/1)=1から
y(a)=y(b)
となる整数a,bの候補は絞り込めます。

お礼

回答ありがとうございます