一次の自己回帰モデルについて。

質問

y(t) = θy(t-1) + ε(t)、-1<θ<1のとき（(t),(t-1)はそれぞれt,(t-1)期を指す）、
上式がy(t) = y(0) + Σ[i=1~t](θ^i・ε(i))と変形できるそうなのですが、具体的にはどのような操作をすればよいのでしょうか。
逐次代入を繰り返すとあったのですが、よく理解ができません。
なるべく詳しく解説していただけるとありがたいです。
よろしくお願いいたします。

回答No.3

statecollege · ベストアンサー

>y(t) = y(0) + Σ[i=１, t](θ^i・ε(i))　　　　　(*)

という式はどこから来たのか？コピーのし間違い？もう一度チェックされたい！

質問者さんのコピーの間違いでないことはよくわかりました。 しかし、

　y(t) = θy(t-1) + ε(t)　　　　　　　(**)

を「過去に向かって逐次代入を繰り返すと」上記の式になるというの納得できません！回答１で示したように、過去に向かって逐次代入すると

　y(t) = y(0)・θ＾ｔ + Σ[i=0, t-1]θ＾i・ε(t-i)　　　　　(***)

となることは間違いない。問題は、これと上の式が等しいかどうかである。少なくとも、ε(i)=0, i=1,...,tのとき、両者が等しくならないことは回答２で示した通りです。ではε(i)が一定値εをとるときはどうか？このときは、(**)が

　　y(t) = y(0)・θ^t + ε(1-θ＾t)/(1-θ）

となることは直接計算してもよいし、(***)からも直ちに導かれる。一方、(*)はどうなるか見ると、

　　y(t) = y(0) + ε∑[i=1, t]θ(i) = y(0) + εθ(1-θ^t)/(1-θ)

となる。両者を等値すると、y(0)=εのときにしか(*)は成立しないことがわかる。このように、(**)が(*)のように書けるという主張には根拠がないとしか結論できない。なお、θ=１と、ランダム・ウォークするときは、(*)においてθ=1とおいた式と等しくなるが、著者はそれと混同したのかもしれない！

お礼

ありがとうございます。回答者様の意見も参考にしつつ、念のため他の文献も参照してみたいと思います。

回答No.2

statecollege

>y(t) = θy(t-1) + ε(t)、-1<θ<1のとき（(t),(t-1)はそれぞれt,(t-1)期を指す）、
上式がy(t) = y(0) + Σ[i=1~t](θ^i・ε(i))と変形できるそうなのですが。。。

回答１で書いたように、これはおかしい！それを見るために、攪乱項ε（ｔ）≡０という特別な場合を調べてみましょう。ことのとき、あなたが与えた解を使えば、ε(i)＝０とおいて、

(*)　y(t) = y(0)

となるはずだが、これはおかしいではないか！

元の式においてε(t)≡０ならば、

y(t) = θy(t-1)

であり、この式を解くと、

(**)　　　y(t) = θ^t・y(0)

とならなければならないのに、そうはなっていないではないか！

y(t) = y(0) + Σ[i=1~t](θ^i・ε(i))

という式はどこから来たのか？コピーのし間違い？もう一度チェックされたい！

補足

回答ありがとうございます。この式は、http://www.imes.boj.or.jp/research/papers/japanese/kk13-4-4.pdf
の（文書のページ数でいうと）p.104の(5)式からp.106の(7)式への変形です。

回答No.1

statecollege

変形した式は合っているでしょうか？私の計算によれば、

y(t) = θ^t・y(0) + ∑[i=0,t-1]θ^i・ε(t-i)

となりますが。。。